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Lexikon der Mathematik: Newton-Gregory-II-Interpolationsformel

spezielle Newtonsche Interpolationsformel, welche für äquidistante Punkte gültig ist.

Die Newton-Gregory-II-Interpolationsformel des Lagrange-Polynoms p, welches an den Punkten xi = i, i = 0,…,N, die reellen Werte ci, i = 0,…,N, interpoliert, ist gegeben durch die Darstellung \begin{eqnarray}p(x)=\displaystyle \sum _{j=0}^{N}{\nabla }^{j}{c}_{N}\left(x+\mathop{j}\limits_{j}-1\right),x\in [0,N].\end{eqnarray}Hierbei ist \({\nabla }^{j}{c}_{N}\) die j-te Rückwärtsdifferenz, welche wie folgt rekursiv definiert wird: \begin{eqnarray}{\nabla }^{0}{c}_{N-i}={c}_{N-i},i=0,\ldots, N,\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{\nabla }^{j}{c}_{N-i}={\nabla }^{j-1}{c}_{N-i}-{\nabla }^{j-1}{c}_{N-i-1},j\ge 1.\end{eqnarray}Weiterhin bezeichnet \(\left(x+\mathop{j}\limits_{j}-1\right)\) den Ausdruck \begin{eqnarray}\displaystyle\frac{x+j-1!}{j!(x-1)!}=\displaystyle\frac{1}{j!}(x+j-1)(x+j-2)\cdots x.\end{eqnarray}Die Newton-Gregory-II-Interpolationsformel kann durch Wahl einer geeigneten linearen Transformation auf beliebige äquidistante Punkte angewandt werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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