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Lexikon der Mathematik: Nichtstandard-Maßtheorie

Formulierung der Maßtheorie mit Hilfe der Nichtstandard-Analysis.

Ein wichtiger Punkt ist hierbei die Konstruktion des Loeb-Maßes über einer *-endlichen Menge Ω ∈ V(ℝ*): Jeder internen Teilmenge A ⊆ Ω ist ihr internes Zählmaß P(A) = |A|/|Ω| zugeordnet, wobei |A| die hyperendliche natürliche Zahl ist, welche in V(ℝ*) *-gleichmächtig ist mit A. Das interne Zählmaß \(P:{\mathcal{P}}(\Omega )\to [0,1]^* \) zusammengesetzt mit st : [0, 1]* → [0, 1] läßt sich mit Hilfe von Caratheodorys Erweiterungssatz zu einem σ-additiven Maß \(\mu : {\mathcal B} \to [0,1]\) erweitern, dabei ist \( {\mathcal B} \) die (externe) σ-Algebra, erzeugt durch die interne Potenzmenge \({\mathcal{P}}(\Omega )\). Dazu wird vorausgesetzt, daß V(ℝ*) ⊃ V(ℝ) polysaturiert ist. Die Vervollständigung von μ heißt Loeb-Maß. Der Zusammenhang mit dem Lebesgue-Maß ergibt sich durch den Satz:

Ist \begin{eqnarray}\Omega =\left\{0,\frac{1}{|\Omega |},\frac{2}{|\Omega |},\cdots, \frac{|\Omega |-1}{|\Omega |},\frac{|\Omega |}{|\Omega |}=1\right\},\end{eqnarray}dann ist eine Teilmenge X ⊆ [0, 1] aus V(ℝ) Lebesgue-meßbar genau dann, wenn die (externe)Teilmenge \begin{eqnarray}\{x\in \Omega |st(x)\in X\}\end{eqnarray}Loeb-meßbar ist. In diesem Fall stimmen die bei-den Maße überein.

[1] Cutland, N.(Hrsg.): Nonstandard Analysis and its Applications. Cambridge University Press Cambridge UK, 1988.
[2] Landers, D.; Rogge, L.: Nichtstandard Analysis. SpringerVerlag Berlin, 1994.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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