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Lexikon der Mathematik: numerische Differentiation

Methoden der näherungsweisen Berechnungen von Ableitungen.

Die numerische Differentiation basiert auf der Grundüberlegung, Differentialquotienten (also Ableitungen einer Funktion) anzunähern, indem man diese durch Differenzenformeln ersetzt. Die einfachste Formel dieser Art, \begin{eqnarray}{f}^{\prime}({x}_{0})\approx \frac{f({x}_{0}+h)-f({x}_{0})}{h}\end{eqnarray}

nähert die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x0 ∈ ℝ.

Um höhere Ableitungen näherungsweise durch Differenzenformeln zu erhalten, kombiniert man Auswertungen der Taylorschen Formel an verschiedenen Stellen in geeigneter Art. Beispielsweise gilt für die Näherung der zweiten Ableitung an einer Stelle x0 ∈ ℝ \begin{eqnarray}{f}^{\prime\prime}({x}_{0})\approx \frac{f({x}_{0}+h)-2f({x}_{0})+f({x}_{0}-h)}{{h}^{2}}.\end{eqnarray}

Die in diesem Fall verwendete Taylorsche Formel ist \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}f(x) & = & f({x}_{0})+{f}^{\prime}({x}_{0})(x-{x}_{0})+\frac{{f}^{\prime\prime}({x}_{0})}{2!}{(x-{x}_{0})}^{2}\\ & & +\frac{{f}^{\prime\prime\prime }({x}_{0})}{3!}{(x-{x}_{0})}^{3}+\frac{{{f}^{\prime\prime}}^{\prime\prime}({\xi }_{x})}{4!}{(x-{x}_{0})}^{4}.\end{array}\end{eqnarray}

Hierbei liegt ξx zwischen x und x0 und f ist eine in einer Umgebung von x0 ∈ ℝ viermal differenzierbare Funktion. Auf die obige Formel gelangt man nun, indem man die Taylorsche Formel an den beiden Stellen x0 + h und x0h auswertet, und die beiden Seiten der entstehenden Gleichungen jeweils addiert. In diesem Fall ist der Fehler abschätzbar durch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\frac{1}{12}\mathop{\sup }\limits_{x\in [{x}_{0}-h,{x}_{0}+h]}|{{f}^{\prime\prime\prime\prime}}(x)|{h}^{2}. & (1)\end{array}\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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