Methoden der näherungsweisen Berechnungen von Ableitungen.

Die numerische Differentiation basiert auf der Grundüberlegung, Differentialquotienten (also Ableitungen einer Funktion) anzunähern, indem man diese durch Differenzenformeln ersetzt. Die einfachste Formel dieser Art, \begin{eqnarray}{f}^{\prime}({x}_{0})\approx \frac{f({x}_{0}+h)-f({x}_{0})}{h}\end{eqnarray}

nähert die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x₀ ∈ ℝ.

Um höhere Ableitungen näherungsweise durch Differenzenformeln zu erhalten, kombiniert man Auswertungen der Taylorschen Formel an verschiedenen Stellen in geeigneter Art. Beispielsweise gilt für die Näherung der zweiten Ableitung an einer Stelle x₀ ∈ ℝ \begin{eqnarray}{f}^{\prime\prime}({x}_{0})\approx \frac{f({x}_{0}+h)-2f({x}_{0})+f({x}_{0}-h)}{{h}^{2}}.\end{eqnarray}

Die in diesem Fall verwendete Taylorsche Formel ist \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}f(x) & = & f({x}_{0})+{f}^{\prime}({x}_{0})(x-{x}_{0})+\frac{{f}^{\prime\prime}({x}_{0})}{2!}{(x-{x}_{0})}^{2}\\ & & +\frac{{f}^{\prime\prime\prime }({x}_{0})}{3!}{(x-{x}_{0})}^{3}+\frac{{{f}^{\prime\prime}}^{\prime\prime}({\xi }_{x})}{4!}{(x-{x}_{0})}^{4}.\end{array}\end{eqnarray}

Hierbei liegt ξ_x zwischen x und x₀ und f ist eine in einer Umgebung von x₀ ∈ ℝ viermal differenzierbare Funktion. Auf die obige Formel gelangt man nun, indem man die Taylorsche Formel an den beiden Stellen x₀ + h und x₀ −h auswertet, und die beiden Seiten der entstehenden Gleichungen jeweils addiert. In diesem Fall ist der Fehler abschätzbar durch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\frac{1}{12}\mathop{\sup }\limits_{x\in [{x}_{0}-h,{x}_{0}+h]}|{{f}^{\prime\prime\prime\prime}}(x)|{h}^{2}. & (1)\end{array}\end{eqnarray}