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Lexikon der Mathematik: Orthogonaltrajektorie

eine Kurve in der Ebene, die jede Kurve einer gegebenen einparametrigen Schar anderer Kurven rechtwinklig schneidet.

Ist diese einparametrige Kurvenschar als Menge der Niveaulinien f (x, y) = const einer differenzierbaren Funktion f (x, y) gegeben, so sind die Orthogonaltrajektorien dieser Schar die sog. Fallinien, d. h., die Linien des stärksten Auf- oder Abstiegs auf dem Graphen von f (x, y), wenn man ihn sich als Profilfläche eines Geländes vorstellt.

Gilt ∂f(x0, y0)/∂x ≠ 0 in einem Punkt (x0, y0) ∈ ℝ2, so läßt sich die orthogonale Trajektorie durch (x0, y0) als Funktion y = y(x) angeben, die die eindeutige bestimmte Lösung der Differentialgleichung \begin{eqnarray}\frac{dy}{dx}=\frac{q}{p}\end{eqnarray} mit p = ∂f/∂x und q = ∂f/∂y zum Anfangswert y(x0) = y0 ist.

Jede Evolvente einer ebenen Kurve α ist Orthogonaltrajektorie der Schar der Normalen von α.

Analog dazu werden im ℝn die Orthogonaltrajektorien von einparametrigen Scharen (n − 1)-dimensionaler Untermannigfaligkeiten betrachtet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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