Darstellung eines Ideals als Durchschnitt von Primäridealen.

Sei R ein (kommutativer) Noetherscher Ring und I ⊂ R ein Ideal. Dann existieren Primärideale Q₁,…, Q_n so, daß I = Q₁ ∩ … ∩ Q_n ist. Eine solche Darstellung von I heißt irredundant, wenn die zu den Q_i gehörigen Primideale paarweise verschieden sind und kein Q_i aus der Darstellung weggelassen werden kann. Eine irredundante Primärzerlegung existiert stets.

Die Menge der zu den Q_i gehörigen Primideale ist eindeutig bestimmt. Die Primärideale sind im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. So ist zum Beispiel \begin{eqnarray}({x}^{2},xy)\ =\ (x)\ \cap \ {(x,y)}^{2}\ =\ (x)\ \cap \ ({x}^{2},y),\end{eqnarray} (x), (x, y)² und (x², y) sind Primärideale. Die beiden zugehörigen Primideale sind (x) und (x, y).

Ist ℤ der Ring der ganzen Zahlen und a ∈ ℤ, a > 1, und ist \(a\ =\ {p}_{1}^{{\varrho }_{1}}\ \cdot \ldots \ \cdot \ {p}_{n}^{{\varrho }_{n}}\) die Zerlegung von a als Produkt von Primzahlen, so ist \begin{eqnarray}(a)\ =\ ({p}_{1}^{{\varrho }_{1}})\ \cap \ \cdots \ \cap \ ({p}_{n}^{{\varrho }_{n}})\end{eqnarray} eine Primärzerlegung des Ideals (a) mit den zugehörigen Primidealen (p₁), …, (p_n).