Lexikon der Mathematik: Prinzip vom Argument
fundamentale Aussage der Funktionentheorie:
Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, f eine in G meromorphe Funktion mit endlicher Polstellenmenge P(f) und γ ein nullhomologer Weg in G, auf dem keine Polstellen von f liegen. Weiter sei a ∈ ℂ derart, daß f−1 (a) = { ζ ∈ G : f (ζ) = a} eine endliche Menge ist und kein Punkt von f−1 (a) auf γ liegt. Dann gilt
wobei indγ(z) die Umlaufzahl von γ bezüglich z, ν(f, ζ) die Vielfachheit der a-Stelle ζ, und m(f, ω)die Polstellenordnung von ω bezeichnet.
Die Bezeichnung Prinzip vom Argument hat folgenden Grund. Unter den obigen Voraussetzungen gilt
Die Umlaufzahl indf ○γ(a), multipliziert mit 2π, gibt die Gesamtänderung des Arguments (Argument einer komplexen Zahl) von (f (γ(t))−a) an, die entsteht, wenn t das Definitionsintervall von γ durchläuft.
Als Spezialfall des Prinzips vom Argument ergibt sich folgende Anzahlformel für Null- und Polstellen einer meromorphen Funktion.
Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f eine in G meromorphe Funktion mit nur endlich vielen Nullund Polstellen. Weiter sei γ eine rektifizierbare Jordan-Kurve, die nullhomolog in G ist, und auf der weder Null- noch Polstellen von f liegen. Dann gilt
wobei N die Anzahl der Nullstellen und P die Anzahl der Polstellen von f im Inneren von γ (Inneres eines geschlossenen Weges) ist. Dabei ist jede Null- bzw. Polstelle entsprechend ihrer Ordnung (Vielfachheit) zu zählen.
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