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Lexikon der Mathematik: quadratische Kovariation

Klammerprozeß, auch als gemeinsame Charakteristik bezeichnet, für zwei stetige lokale Martingale M = (Mt) t ≥0 und N = (Nt) t ≥0 der stochastische Prozeß \begin{eqnarray}[M,N]={({[M,N]}_{t})}_{t\ge 0}\end{eqnarray}

mit \begin{eqnarray}{[M,N]}_{t}:=\frac{1}{4}({[M+N]}_{t}-{[M-N]}_{t})\end{eqnarray}

für alle t, wobei [M + N] t bzw. [MN] t die quadratische Variation von M + N bzw. MN zum Zeitpunkt t bezeichnet.

Dabei wird vorausgesetzt, daß M und N an eine Filtration (𝔄 t) t ≥0, welche die üblichen Voraussetzungen erfüllt, in der σ-Algebra A des zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraumes (Ω, 𝔄, P) adaptiert sind.

Die quadratische Kovariation [M, M] von M mit sich selbst stimmt mit der quadratischen Variation [M] von M überein. Die Abbildung (M, N) → [M, N] ist bilinear, symmetrisch und es gilt [M, M] ≥ 0. Darüber hinaus gilt [M, M] = 0 genau dann, wenn für jedes t die Gleichheit Mt = M 0P-fast sicher besteht.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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