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Lexikon der Mathematik: Quasi-Interpolation

verallgemeinerte Interpolationsmethoden, welche auf der Verwendung von linearen Funktionalen beruhen.

Es sei l ∈ ℕ, K eine kompakte Teilmenge von ℝ l, m ∈ ℕ0, Cm (K) der Raum der m-fach differenzierbaren Funktionen auf K, und \({\mathcal{S}}\) ⊆ Cm (K) ein n-dimensionaler Teilraum, welcher eine Basis {Bi : i = 1,…,n} mit lokalem Träger besitzt.

Für geeignete lineare Funktionale λi : Cm (K) ↦ ℝ, i = 1,…,n, also Funktionale mit \begin{eqnarray}{\lambda }_{i}(\alpha f+\beta g)=\alpha {\lambda }_{i}(f)+\beta {\lambda }_{i}(g),\end{eqnarray}

für alle α, β ∈ ℝ und f, gCm (K), definiert man einen Quasi-Interpolationsoperator Q : Cm (K) ↦ \({\mathcal{S}}\) durch eine Vorschrift der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}Q(f)=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\lambda }_{i}(f){B}_{i} & f\in {C}^{m}[a,b].\end{array}\end{eqnarray}

Die linearen Funktionale λi können hierbei beispielsweise aus (endlichen) Linearkombinationen von Funktionswerten und Ableitungen von f an verschiedenen, geeignet gewählten Stellen tiK gebildet werden.

Quasi-Interpolanten spielen insbesondere in der Theorie der Splinefunktionen eine bedeutende Rolle, und werden zum Nachweis von Eigenschaften von Splineräumen in der Spline-Approximation verwendet.

Die klassischen Operatoren dieser Art sind Quasi-Interpolanten für univariate Splines vom Schoenberg-Typ, das heißt, es gelten λi (f) = f (xi), i = 1,…,n, und \begin{eqnarray}{\mathcal{S}}=\text{span}\{{B}_{i}:i=1,\ldots, n\},\end{eqnarray}

wobei für vorgegebene, aufsteigend sortierte Knoten xi, Bi den i-ten B-Spline vom Grad m bezeichnet, welcher (m − 1)-fach differenzierbar ist. Ist Q(f) der Schoenberg-Operator und f eine beliebige stetige Funktion auf [a, b], so gilt die folgende Fehlerabschätzung in der Maximumnorm: \begin{eqnarray}||(f-Q(f))|{|}_{\infty }\le \frac{1}{2}(m+1)\omega (f,h),\end{eqnarray}

wobei ω(f, h) der Stetigkeitsmodul von f ist, und \begin{eqnarray}h=\max \{{x}_{i+1}-{x}_{i}:i=1,\ldots, n-1\}.\end{eqnarray}

Um approximierende Quasi-Interpolanten von großer Genauigkeit zu konstruieren, ist die Eigenschaft der Reproduktion von Polynomen von Bedeutung, das heißt, es soll Q(p) = p für alle Polynome p vom Grad r mit rm gelten.

Durch Verwendung eines von C. deBoor und G. J. Fix im Jahr 1973 erstmalig definierten Quasi-Interpolanten kann man nachweisen, daß univariate Splineräume stets optimale Approximationsordnung besitzen. Hierbei geht man von normalisierten B-Splines Ni aus, und setzt für geeignete ti und fCm [a, b] \begin{eqnarray}{\lambda }_{i}(x)=\displaystyle \sum _{j=0}^{m}\frac{1}{m!}{(1-)}^{j}{\omega }_{i}^{(m-j)}({t}_{i}){f}^{(j)}({t}_{i}),\end{eqnarray}

wobei \({\omega }_{i}^{(m-j)}\) die (mj)-te Ableitung des Polynoms \begin{eqnarray}{\omega }_{i}(t)=\frac{1}{m!}(t-{x}_{i+1})\ldots (t-{x}_{i+m})\end{eqnarray}

ist. Der zugehörige Quasi-Interpolationsoperator reproduziert den ganzen Splineraum, d. h., Q(Ni) = Ni, i = 1,…,n, und es gilt \begin{eqnarray}||(f-Q(f))|{|}_{\infty }\le K{h}^{m}\omega ({f}^{(m)},h),\end{eqnarray}

wobei K > 0 eine nur von m abhängige Konstante ist.

Für bivariate Splines, welche hinsichtlich einer vorgegebenen Triangulierung eines Grundbereichs K in der Ebene definiert sind, gilt im allgemeinen keine optimale Approximationsordnung. Jedoch hat man in den letzten Jahren mit Hilfe von Quasi-Interpolanten und (echten) Interpolanten Klassen von solchen Splineräumen bestimmen können, für welche (optimale) Approximationsordnung gilt. Bei der Konstruktion von Quasi-Interpolanten für bivariate Splines verwendet man gewisse lineare Funktionale, welche sich direkt aus sogenannten minimal bestimmenden Mengen ergeben. Minimal bestimmende Mengen bestehen aus gewissen Koeffizienten in der Bernstein-Bézier-Darstellung der polynomialen Stücke, die den Spline eindeutig festlegen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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