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Lexikon der Mathematik: quasiendlich

Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Ein Morphismus \(X\mathop{\to }\limits^{\varphi }Y\) von Schemata heißt quasiendlich in einem Punkt xX, wenn x isolierter Punkt in seiner Faser ϕ −1 (ϕ(x)) ist, und wenn ϕ von endlichem Typ in einer Umgebung U von x ist (d. h., wenn \(U\mathop{\to }\limits^{\varphi }Y\) über eine abgeschlossene Einbettung U ⊂ 𝔸 n × YY faktorisiert).

Die Menge X′ der Punkte von X, in denen φ quasiendlich ist, ist offen in X. Wenn Y Noethersch ist, existiert eine Zerlegung \begin{eqnarray}\varphi ={\varphi }{^{\prime} }\circ \psi :X\mathop{\to }\limits^{\psi }Z\mathop{\to }\limits^{{\varphi }{^{\prime} }}Y,\end{eqnarray}

so daß φ′ endlich und ψ | X′ eine offene Einbettung ist.

Diese Aussage heißt auch Zariskis Hauptsatz.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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