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Lexikon der Mathematik: quasireflexiver Raum

ein Banachraum, für den die kanonische Einbettung in den Bidualraum endlich-kodimensional ist; mit anderen Worten ist

\begin{eqnarray}\dim {X}^{\prime\prime}/{i}_{X}({X})\lt \infty \end{eqnarray}

für solch ein X.

Das erste Beispiel eines quasireflexiven, aber nicht reflexiven Raums, wurde 1951 von James konstruiert; sein Beispiel ist der Raum J aller (sn) ∈ c0, für die der Ausdruck

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\sup \\ {n}_{1}\lt \ldots \lt {n}_{r}\\ r\in {\mathbb{N}}\end{array}{\left(\sum\limits_{k = 1}^{r – 1}|{S}_{{n}_{k+1}}-{S}_{{n}_{k}}{|}^{2}+|{S}_{{n}_{r}}-{S}_{{n}_{1}}{|}^{2}\right)}^{1/2}\end{array}\end{eqnarray}

endlich bleibt; (1) definiert dann die Norm ∥ ċ ∥J in J. Der Bidualraum von J ist kanonisch isomorph zum Raum

\begin{eqnarray}\{({S}_{n})\in c:||({s}_{n})|{|}_{J}\lt \infty \},\end{eqnarray}

welcher J als 1-kodimensionalen Unterraum enthält. Andererseits konnte James zeigen, daß es eine nicht kanonische isometrische Isomorphie zwischen J und J″ so gibt, daß J ein Beispiel eines nichtreflexiven Raums ist, der zu seinem Bidualraum isometrisch isomorph ist.

[1] Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L.: Classical Banach Spaces I. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1977.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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