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Lexikon der Mathematik: Riemannsche Mannigfaltigkeit

eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M mit der Eigenschaft, daß auf jedem Tangentialraum Tp(M) eine nicht ausgeartetete symmetrische Bilinearform \begin{eqnarray}{g}_{p}:{T}_{p}(M)\times {T}_{p}(M)\to {\mathbb{R}}\end{eqnarray} definiert ist, die differenzierbar vom Punkt pM abhängt. Die Bilinearform g nennt man den metrischen Fundamentaltensor oder die Riemannsche Metrik von M.

Man unterscheidet eigentliche und pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Eigentliche Riemannsche Mannigfaltigkeiten sind durch einen positiv definiten Fundamentaltensor gekennzeichnet, während der Fundamentaltensor von pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten indefinit ist. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist parakompakt, wenn sie Hausdorffsch ist und ihre Topologie eine abzählbare Basis besitzt. Mit Hilfe der Methode der Zerlegung der Einheit beweist man:

Auf jeder parakompakten differenzierbaren Mannigfaltigkeit existieren positiv definite Riemannsche Metriken.

Anders ist es bei pseudo-Riemannschen Metriken. Diese existieren auf einer Riemannsche Mannigfaltigkeit M nur, wenn M bestimmte topologische Bedingungen erfüllt.

Siehe auch Riemannsche Fläche und Riemannsche Geometrie.

[1] Sulanke, R.; Wintgen, P.: Differentialgeometrie und Faserbündel. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1972.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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