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Lexikon der Mathematik: Riesz-Basis

Basis eines Hübertraums H, bestehend aus einer Familie von Funktionen φnH, nI (mit abzählbarer Indexmenge I) mit \begin{eqnarray}\text{C}1(\text {Span}\{{\phi }_{n}|n\in I\})=H\end{eqnarray} und der Eigenschaft \begin{eqnarray}{C}_{1}{\displaystyle \sum _{n\in I}{|{\lambda }_{n}|}^{2}\le \Vert \displaystyle \sum _{n\in I}{\lambda }_{n}{\phi }_{n}\Vert }^{2}\le {C}_{2}\displaystyle \sum _{n\in I}{|{\lambda }_{n}|}^{2}\end{eqnarray} für alle λ = {λn}nI2(I) und Konstanten 0 < C1, C2 < ∞.

Dies ist gleichbedeutend damit, daß die Abbildung \begin{eqnarray}{\ell }^{2}(I)\to H,\lambda \mapsto \displaystyle \sum _{n\in I}{\lambda }_{n}{\phi }_{n}\end{eqnarray} ein beschränkter Operator mit beschränktem Inversen H2(I) ist. Eine Riesz-Basis ist genau dann orthogonal, wenn die Riesz-Konstanten C1 = C2 = 1 erfüllen.

Eine Riesz-Basis kann interpretiert werden als ein spezielles Riesz-System, beide Begriffe werden in der Literatur aber nicht immer streng unterschieden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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