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Lexikon der Mathematik: Ruinwahrscheinlichkeit

die Wahrscheinlichkeit für den Verlust des gesamten Kapitals in der folgenden unter dem Namen „Ruin des Spielers“ bekannten Aufgabe.

Es sei (Xn)n∈ℕ eine unabhängige Folge identisch verteilter Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega, {\mathfrak{A}}, P)\) mit Werten in der Menge {−1, 1} und P(Xn = 1) = p, p ∈ (0, 1). Liefert Xn als Realisierung den Wert 1, so wird dies als Gewinn einer Einheit beim n-ten aus einer Reihe von Spielen interpretiert. Entsprechend faßt man die Realisierung des Wertes −1 als den Verlust einer Einheit auf. Ein Spieler, der zu Anfang des Spiels über ein Kapital von \(a\in {\mathbb{N}}\) Einheiten verfügt, setzt das Spiel solange fort, bis er entweder sein gesamtes Kapital verspielt oder aber das Ziel erreicht hat, das Kapital auf \(c\in {\mathbb{N}}\), mit c > a, Einheiten zu steigern.

Die Aufgabe besteht in der Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für diese beiden Ereignisse. Bezeichnet A das dem Ruin, d. h. dem Verlust des gesamten Kapitals, und B das dem Erreichen des Ziels entsprechende Ereignis, so gilt \begin{eqnarray}P(A)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{{(p/q)}^{c-a}-1}{{(p/q)}^{c}-1}, & \text{falls}\,\displaystyle\frac{p}{q}\ne 1\\ 1-\displaystyle\frac{a}{c}, & \text{falls}\,\displaystyle\frac{p}{q}=1\end{array}\right.\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}P(B)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{{(q/p)}^{a}-1}{{(q/p)}^{c}-1}, & \text{falls}\,\displaystyle\frac{p}{q}\ne 1\\ \displaystyle\frac{a}{c}, & \text{falls}\,\displaystyle\frac{p}{q}=1\end{array}\right.\end{eqnarray} mit q = 1 P. Wegen P(A) + P(B) = 1 ist die Dauer des Spiels P-fast sicher endlich.

Ist beim obigen Spiel etwa p = 18/38 gleich der Wahrscheinlichkeit für die Farbe Rot beim Roulette, so ergibt sich für die Ruinwahrscheinlichkeit P(A) bei einem Anfangskapital von a = 1000 und einem Ziel von c = 1050 Einheiten ein Wert von ungefähr 0.995.

Vor allem in der Versicherungsmathematik dient der Begriff Ruinwahrscheinlichkeit zur Quantifizierung des Risikos eines vollständigen Verlusts der Reserven eines Unternehmens, siehe auch Ruintheorie.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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