eine mit einem Tensorfeld φ vom Typ (1, 1), einem Vektorfeld ξ und einer differentiellen 1-Form ω versehene Mannigfaltigkeit M, die gewissen zusätzlichen Bedingungen genügt.

Zur Erläuterung wird der Begriff der Kontaktstruktur benötigt. Es seien M eine (2n + 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit und φ ein Tensorfeld vom Typ (1, 1), d. h., ein Feld φ : T(M) → T(M) linearer Abbildungen der Tangentialräume. Ferner seien ξ ein Vektorfeld und ω eine differentielle 1-Form auf M derart, daß die Gleichungen \begin{eqnarray}{\varphi }^{2}=-\text{id}+\omega \otimes \xi\quad \text{und}\quad\omega (\xi )=1\end{eqnarray} erfüllt sind, wobei id die identische Abbildung des Tangentialbündels T(M) bezeichnet. Dann nennt man das Tripel (φ, ξ, ω) eine fast-Kontaktstruktur auf M, und M wird eine fast-Kontaktmannigfaltigkeit genannt. Auf einer fast-Kontaktmannigfaltigkeit hat φ den konstanten Rang 2n, und es gilt \(\omega \circ \varphi =0,\varphi (\xi )=0\).

Die Bedingung (1) ist eine Abschwächung der Gleichung J² = −id für fast komplexe Strukturen J auf Mannigfaltigkeiten gerader Dimension.

Bildet man das kartesische Produkt \(\mathop{\tilde M}\limits^{}={M}^{2n+1}\times {\mathbb{R}}\) und wählt eine differenzierbare Funktion f auf \(\mathop{\tilde M}\limits^{}\), so kann man die fast-Kontaktstruktur (φ, ξ, ω) zu einer fast komplexen Struktur J_f auf \({M}^{2n+1}\times {\mathbb{R}}\) ausdehnen, indem man für ein Vektorfeld X auf M²ⁿ⁺¹ und das Tangentialvektorfeld \(\frac{d}{dt}\) an die durch den Faktor ℝ von \(\mathop{\tilde M}\limits^{}\) gegebenen Kordinatenlinien \begin{eqnarray}{J}_{f}\left(X, f\frac{d}{dt}\right)=\left(\varphi (X)-f\,\xi, \omega (X)\frac{d}{dt}\right)\end{eqnarray} setzt. Dann gilt J_f ∘ J_f = id. Mit dem Begriff der fastKontaktmannigfaltigkeit wird der Begriff der Kontaktmannigfaltigkeit verallgemeinert. Darunter verstehen wir hier eine Mannigfaltigkeit M ungerader Dimension 2n + 1, die mit einer Kontaktstruktur versehen ist, d. h. mit einer differentiellen 1-Form η, für die die (2n + 1)-Form \begin{eqnarray}\eta \wedge {(d\eta )}^{n}=\eta \wedge \mathop{\underbrace{d\eta \wedge \ldots \wedge d\eta }}\limits_{n-\text{mal}}\end{eqnarray} in jedem Punkt von x ∈ M ungleich Null ist.

Aus dieser Bedingung folgt, daß die differentielle 2-Form d η, als antisymmetrische Bilinearform der (2n + 1)-dimensionalen Tangentialräume \begin{eqnarray}d\,\eta :{T}_{x}(M)\times {T}_{x}(M)\to {T}_{x}(M)\end{eqnarray} betrachtet, in allen Punkten x ∈ M den Rang 2n hat.

Beispiele für Kontaktmannigfaltigkeiten sind z. B. (2n + 1)-Untermannigfaltigkeiten von \({M}^{2n+1}\subset {{\mathbb{R}}}^{2n+2}\), deren Tangentialräume nicht den Ursprung 0 ∈ ℝ²ⁿ⁺² enthalten. Dabei ergibt sich die Kontaktstruktur η von \({M}^{2n+1}\) durch Einschränkung der auf ℝ²ⁿ⁺² definierten 1-Form \begin{eqnarray}\alpha =\mathop{\sum ^{n+1}}\limits_{i=1}\left({x}^{2i-1}d{x}^{2i}-{x}^{2i}d{x}^{2i-1}\right).\end{eqnarray} Speziell sind somit die (2n + 1)-dimensionalen Sphären \({S}^{2n+1}\subset {{\mathbb{R}}}^{2n+2}\) ebenso wie die (2n + 1)- dimensionalen projektiven Räume Kontaktmannigfaltigkeiten.

Auf jeder fast-Kontaktmannigfaltigkeit M mit der fast-Kontaktstruktur (φ, ξ, ω) existiert eine Riemannsche Metrik g derart, daß \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}\omega (Y) & = & g(Y,\xi )\quad \text {und}\\ g\,(\varphi (X),\varphi (Y)) & = &g(X, Y)-\omega (X)\omega (Y)\end{array}\end{eqnarray} für alle Vektorfelder X und Y auf M gilt. Das Quadrupel (φ, ξ, ω, g) nennt man eine metrische fastKontaktstruktur und M eine metrische fast-Kon-taktmannigfaltigkeit. Auf jeder Kontaktmannigfaltigkeit M existiert eine metrische fast-Kontaktstruktur (φ, ξ, ω, g) mit g(X, ψ(Y)) = d ω(X, Y).

Auf einer metrischen fast-Kontaktmannigfaltigkeit definiert man deren fundamentale 2-Form Φ durch Φ(X, Y) = g (X, ψ(Y)), und nennt (Φ, ξ, ω, g) eine metrische Kontaktstruktur, falls Φ = dω gilt.

Der Nijenhuis-Tensor N_ϕ von ϕ ist das durch \begin{eqnarray}{N}_{\varphi }(X, Y)={\varphi }^{2}([X, Y])+[\varphi (X),\varphi (Y)]-\varphi ([\varphi (X), Y])-\varphi ([X,\varphi (Y)])\end{eqnarray} definierte Tensorfeld vom Typ (1, 2). In dieser Gleichung bezeichnen [X, Y], ϕ(X), Y], [X, ϕ (Y)] die Kommutatoren der entsprechenden Vektorfelder. Gilt \begin{eqnarray}{N}_{\varphi }+2\,d\omega \otimes \xi =0,\end{eqnarray} so nennt man die fast-Kontaktstruktur (φ, ξ, ω) normal. Diese Definition ist gleichwertig damit daß die durch (2) gegebene fast komplexe Struktur \({M}^{2n+1}\times {\mathbb{R}}\) für jede Funktion f auf \({M}^{2n+1}\times {\mathbb{R}}\) ein komplexe Struktur definiert, d. h., integrabel ist.

Eine mit einer normalen metrische Kontaktstruktur versehene Mannigfaltigkeit wird Sasakische Mannigfaltigkeit genannt. Diese sind unter den metrischen fast-Kontaktmannigfaltigkeiten durch folgende Eigenschaft charakterisiert:

Es sei ∇ der Levi-Civita-Zusammenhang der Riemannschen Metrik g einer metrischen fast Kontaktmannigfaltigkeit M. Ist (φ, ξ, ω, g) die metrischen fast-Kontaktstruktur von M, so ist M genau dann eine Sasakische Mannigfaltigkeit, wenn die Gleichung \begin{eqnarray}({\nabla }_{X\varphi })Y=g(X, Y)\xi -\omega (Y)X\end{eqnarray}für alle Vektorfelder X und Y auf M gilt.

[1] Yano, K.; Kon, M.: Structures on Manifolds. World Scientific Publishing Co. Singapur, 1984.