die Frage, wie sich PeriodenMatrizen von kompakten Riemannschen Flächen unter allen Matrizen, die die Riemannschen Periodenrelationen (Hodge-Struktur) erfüllen, charakterisieren lassen.

In normalisierter Form (geeignete Basiswahl in H₁(X, ℤ) und in \({H}^{0}({X}_{1}{{\rm{\Omega }}}_{X}^{1})\)) haben Periodenmatrizen die Form Ω = (I_g, τ) (hier ist I_g die (g × g)- Einheitsmatrix), und die Periodenrelationen sind

(a) τ ist symmetrische (g × g)-Matrix, und

(b) der Imaginärteil von τ ist positiv definit.

Dadurch wird für g ≥ 4 ein Gebiet \(\unicode{x0210C}_{g}\) der (komplexen) Dimension \(\frac{1}{2}g(g+1)\) im Raum aller symmetrischen (g × g)-Matrizen definiert, dessen Dimension größer als 3g − 3 ist (die Dimension des Modulraumes der Kurven, Modulprobleme). Jede Matrix definiert eine (hauptpolarisierte) abelsche Varietät (A = ℂ^g/Ωℤ^2g), die für Periodenmatrizen algebraischer Kurven die Jacobische liefert. Der Übergang zur Jacobischen ergibt einen Morphismus der entsprechenden Modulräume \({{\mathfrak{M}}}_{g}\mathop{\to }\limits^{j}{{\mathfrak{A}}}_{g}\), der nach Torellis Satz eine lokal abgeschlossene Einbettung ist. Geometrisch formuliert ist also das Schottky-Problem die Charakterisierung des Bildes von j.

Vom analytischen Standpunkt ist \begin{eqnarray}{{\mathfrak{A}}}_{g}=\unicode{x0210C}_{g}/{\rm{\Gamma }},\,{\rm{\Gamma }}=Sp(2g,{\mathbb{Z}}).\end{eqnarray}

Die Theta-Nullwerte \begin{eqnarray}\left(\cdots :\vartheta \left[\frac{p}{q}\right](0,\tau ):\cdots \right),\end{eqnarray} wobei \(p,q\in {\scriptstyle \frac{1}{2}}{{\mathbb{Z}}}^{g}/{{\mathbb{Z}}}^{g}\) ein System von Repräsentanten durchläuft, liefern eine holomorphe Abbildung \(\unicode{x0210C}_{g}\to {{\mathbb{P}}}^{M}(M={2}^{g}-1)\), die über einen Quotienten und eine Einbettung \(\unicode{x0210C}_{g}\to \unicode{x0210C}_{g}/{\rm{\Gamma }}^{\prime} \subset {{\mathbb{P}}}^{M}\) faktorisiert. \begin{eqnarray}\unicode{x0210C}_{g}/{{\rm{\Gamma }}}^{\prime}\to {{\mathfrak{A}}}_{G}=\unicode{x0210C}_{g}/{\rm{\Gamma }}\end{eqnarray} ist also eine endliche Überlagerung.

Die sogenannten Schottky-Jung-Relationen sind ein durch einen induktiven Prozeß beschriebenes homogenes Ideal in den homogenen Koordinaten auf ℙ^M. Die Nullstellenmenge dieses Ideals (auf \(\unicode{x0210C}_{g}/{\rm{\Gamma }}^{\prime} \)) enthält die Jacobischen, und es ist bekannt, daß der Ort der Jacobischen eine irreduzible Komponente dieser Nullstellenmenge ist (van Geemen).

Vom geometrischen Standpunkt gibt es verschiedene Eigenschaften, die auf dem Ort der Jacobischen erfüllt sind, für allgemeine haupt-polarisierte Varietäten aber nicht.