Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Stabilität von Differenzenverfahren

Übertragung der Stabilitätsbegriffe bei der Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen auf explizite Differenzenverfahren bei partiellen Differentialgleichungen.

Für ein Problem in einer Zeitvariablen t und einer Ortsvariablen x lassen sich diese Verfahren beispielsweise allgemein darstellen in der Form \begin{eqnarray}{\tilde{u}}^{(k+1)}(x)=\Phi ({\tilde{u}}^{(k)}(x),\Delta t)+\Delta tg(x).\end{eqnarray} Dabei approximiert \({\tilde{u}}^{(k)}(x)\) die unbekannte Funktion u(t, x) für \begin{eqnarray}t={t}_{0}+k\Delta t\le T,\end{eqnarray}k = 1, 2,…. Die Diskretisierung in x-Richtung mit Schrittweite Δx ist nicht explizit angegeben, lediglich das Verhältnis λ = Δt/ Δx ist als konstant angenommen. Ein solches Verfahren heißt dann stabil, falls \begin{eqnarray}\Vert \Phi (u(x),\Delta {t}^{k}\Vert \le C\end{eqnarray} für alle k und Δt mit t0 + kΔtT und festes C in einer geeignet gewählten Norm erfüllt ist.

Beispiel einer notwendigen Stabilitätsbedingung ist die Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos