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Lexikon der Mathematik: Szegö, Satz von

lautet:

Es sei \(f(z)=\displaystyle {\sum}_{n=0}^{\infty}{a}_{n}{z}^{n}\)eine Potenzreihe mit nur endlich vielen verschiedenen Koeffizienten an ∈ ℂ. Dann ist entweder 𝔼 = {z ∈ ℂ : |z| < 1} das Holomorphiegebiet von f, oder f ist zu einer rationalen Funktion der Form \begin{eqnarray}\hat{f}(z)=\frac{p(z)}{1-{z}^{k}}\end{eqnarray}

fortsetzbar, wobei p ein Polynom und k ∈ ℕ ist.

Als interessante Folgerung ergibt sich ein Satz von Kronecker.

Es sei P(z) = zn + p1zn−1 + · · · + pn−1z + pn ein Polynom mit Koeffizienten p1, …, pn ∈ ℤ, und für jede Nullstelle z0 ∈ ℂ von P gelte |z0 | = 1. Dann ist jede Nullstelle von P eine Einheitswurzel.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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