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Lexikon der Mathematik: Tangentenvektor an eine Kurve

Tangentialvektor an eine Kurve, ein Vektor 𝔱 ∈ ℝ3, dessen Richtung in einem Punkt P einer regulären Kurve in Richtung der Kurventangente zeigt.

Ist eine zulässige Parameterdarstellung α(t) der Kurve gegeben, so sind für wenig voneinander abweichende Parameterwerte t0 und t0 + h, h ≠ 0, die zugehörigen Kurvenpunkte P = α(t0) und Q = α(t0 + h) verschieden und bestimmen daher eine Verbindungsgerade. Die Kurventangente ist Grenzlage dieser Verbindungsgeraden für t → 0. Ein spezieller Tangentenvektor ergibt sich auch direkt aus der Parameterdarstellung α als Grenzwert \begin{eqnarray}{\alpha}^{\prime}({t}_{0})=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}(\alpha ({t}_{0}+h)-\alpha ({t}_{0}))\end{eqnarray}

eines Differenzenquotienten. Ist β(s) eine andere Parameterdarstellung, die sich durch eine Parametertransformation s = s(t) aus α(t) ergibt, so ist der zugehörige Tangentenvektor β′(s0) für s0 = s(t0) nach der Kettenregel ein skalares Vielfaches von α′(t0). Es gilt \begin{eqnarray}{\beta}^{\prime}({s}_{0})=\frac{ds({t}_{0})}{dt}{\alpha}^{\prime}({t}_{0}).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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