grundlegender Begriff in der Theorie der analytischen Räume.

Sei (X, _X\({\mathcal{O}}\)) ein analytischer Raum, und sei x ∈ X. Eine Derivation von \({\mathcal{O}}\)_x (oder ein Tangentialvektor) an der Stelle x ist eine Abbildung t : \({\mathcal{O}}\)_x → ℂ so, daß gilt

i) t(af + bg) = at(f) + bt(g) für a, b ∈ ℂ, f, g ∈ \({\mathcal{O}}\)_x ;

ii) t(fg) = f(x)t(g) + g(x)t(f).

Die Menge der Derivationen von \({\mathcal{O}}\)_x bildet einen Vektorraum über ℂ. Dieser Vektorraum heißt der Tangentialraum an X an der Stelle x und wird mit mit _XT_x bezeichnet. Es gilt:

Sei φ : (X, _X\({\mathcal{O}}\)) → (Y, _Y \({\mathcal{O}}\)) eine holomorphe Abbildung. Zu jedem x ∈ X gibt es eine induzierte lineare Abbildung φ_∗ : _X T_x → _Y T_ϕ(x). Ist φ injektiv (biholomorph) an der Stelle x, dann ist φ_∗eineindeutig (isomorph) an der Stelle x. φ_∗heißt das Differential von φ.

Weiterhin hat man folgende Aussage:

Es sei x ∈ ℂⁿ. Dann liegen die Abbildungen ∂/∂zⁱ : _n \({\mathcal{O}}\)_x → ℂ : \begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial {z}^{i}}(f)=\frac{\partial f}{\partial {z}^{i}}(x)\end{eqnarray}

in _nT_x und bilden eine Basis von _nT_x.