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Lexikon der Mathematik: Tangentialraum an einen analytischen Raum

grundlegender Begriff in der Theorie der analytischen Räume.

Sei (X, X\({\mathcal{O}}\)) ein analytischer Raum, und sei xX. Eine Derivation von \({\mathcal{O}}\)x (oder ein Tangentialvektor) an der Stelle x ist eine Abbildung t : \({\mathcal{O}}\)x → ℂ so, daß gilt

i) t(af + bg) = at(f) + bt(g) für a, b ∈ ℂ, f, g ∈ \({\mathcal{O}}\)x ;

ii) t(fg) = f(x)t(g) + g(x)t(f).

Die Menge der Derivationen von \({\mathcal{O}}\)x bildet einen Vektorraum über ℂ. Dieser Vektorraum heißt der Tangentialraum an X an der Stelle x und wird mit mit XTx bezeichnet. Es gilt:

Sei φ : (X, X\({\mathcal{O}}\)) → (Y, Y \({\mathcal{O}}\)) eine holomorphe Abbildung. Zu jedem xX gibt es eine induzierte lineare Abbildung φ : X TxY Tϕ(x). Ist φ injektiv (biholomorph) an der Stelle x, dann ist φeineindeutig (isomorph) an der Stelle x. φheißt das Differential von φ.

Weiterhin hat man folgende Aussage:

Es sei x ∈ ℂn. Dann liegen die Abbildungen ∂/∂zi : n \({\mathcal{O}}\)x → ℂ : \begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial {z}^{i}}(f)=\frac{\partial f}{\partial {z}^{i}}(x)\end{eqnarray}

in nTx und bilden eine Basis von nTx.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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