wichtiges Beispiel eines topologischen dynamischen Systems.

Wir betrachten den Torus \begin{eqnarray}{{\mathbb{T}}}^{n}:={{\mathbb{R}}}^{n}/{{\mathbb{Z}}}^{n}=\mathop{\underbrace{{\mathbb{R}}/{\mathbb{Z}}\times \cdots \times {\mathbb{R}}/{\mathbb{Z}}}}\limits_{n\text{-mal}}\end{eqnarray} als Phasenraum. Für \(\omega =({\omega}_{1},\cdots,{\omega}_{n})\in {{\mathbb{T}}}^{n}\) definieren wir T_ω als die Abbildung \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}{{\mathbb{T}}}^{n}\times {\mathbb{R}} & \to & {{\mathbb{T}}}^{n}\\ ({x}_{1},\ldots,{x}_{n}) & \mapsto & ({x}_{1}+{\omega}_{1}t,\ldots {x}_{n}+{\omega}_{n}t)\ (\mathrm{mod}\ 1).\end{array}\end{eqnarray}

Weiter statten wir ℝ mit der Standardtopologie der reellen Zahlen aus, ℝ/ℤ mit der Quotiententopologie und schließlich \({{\mathbb{T}}}^{n}\) mit der zugehörigen Produkttopologie. Dann heißt das topologische dynamische System \(({{\mathbb{T}}}^{n},{\mathbb{R}},{T}_{\gamma})\) Translation auf dem Torus.