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Lexikon der Mathematik: wandernder Punkt

Punkt mM für ein kontinuierliches dynamisches System (M, ℝ, Φ), für den eine Umgebung U(m) von m und ein T > 0 so existiert, daß für alle xU(m) und alle t > T gilt: \begin{eqnarray}\Phi (x,t)\rlap{/}{\in}U(m)\end{eqnarray}. Die Menge aller wandernden Punkte in M werde mit W bezeichnet, sie heißt wandernde Menge des dynamischen Systems. Punkte des Phasenraumes, für die dies nicht zutrifft, heißen nicht-wandernd.

Die Menge aller nicht-wandernden Punkte sei mit N := M \ W bezeichnet. W ist offene und N abgeschlossene invariante Menge. Für kompaktes M gilt für jeden wandernden Punkt xW: \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to \pm \infty}\Phi (x,t)\in N.\end{eqnarray}

Fixpunkte und geschlossene Orbits sowie α- und ω-Limespunkte sind nicht-wandernd. Für xM sind äquivalent:

  1. x ist nicht-wandernd
  2. x ist in seinem Vorwärts-Orbit enthalten.
  3. x ist in seinem Rückwärts-Orbit enthalten.

Für ein dynamisches System mit Phasenraum \begin{eqnarray}M\subset {{\mathbb{R}}}^{2}\end{eqnarray} gibt es nur folgende Arten nicht-wandernder Mengen:

  1. Fixpunkte,
  2. geschlossene Orbits,
  3. Fixpunkte mit sie verbindenden Orbits.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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