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Lexikon der Mathematik: Zerlegung in Linearfaktoren

die Aufspaltung eines Polynoms \(f(X)=\sum {}_{k=0}^{n}{a}_{k}{X}^{k}\in {\mathbb{K}}[X]\) über einem Körper \({\mathbb{K}}\) in ein Produkt von Linearfaktoren \begin{eqnarray}f(X)={a}_{n}\cdot \displaystyle \prod _{l=1}^{n}(X-{b}_{l})\end{eqnarray} in einem Erweiterungskörper \({\mathbb{L}}\). Notwendig und hinreichend für die Zerlegbarkeit ist, daß alle b1, …, bn in \({\mathbb{L}}\) liegen.

Diese Zerlegung ist in jedem Erweiterungskörper des Zerfällungskörpers von f(X) möglich. Insbesondere kann jedes Polynom über einem algebraisch abgeschlossenen Körper in Linearfaktoren zerlegt werden.

Die Aufspaltung kann durch sukzessive Abspaltung von Nullstellen durch Polynomdivision erreicht werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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