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Lexikon der Mathematik: Zerfällungskörper

der kleinste Erweiterungskörper \({\mathbb{L}}\) eines Körpers \({\mathbb{K}}\) mit der Eigenschaft, daß ein gegebenes Polynom \(f(X)=\displaystyle {\sum }_{k=0}^{n}{a}_{k}{X}^{k}\in {\mathbb{K}}[X]\) über \({\mathbb{K}}\) vollständig als Produkt von Linearfaktoren \begin{eqnarray}f(X)={a}_{n}\cdot \displaystyle \prod _{l=1}^{n}(X-{b}_{l})\end{eqnarray} mit b1, …, bn ∈ \({\mathbb{L}}\) geschrieben werden kann. Die bi sind die Wurzeln bzw. Nullstellen des Polynoms f(X). Man sagt auch, das Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren.

Zu jedem Polynom gibt es bis auf Isomorphie über \({\mathbb{K}}\) genau einen Zerfällungskörper. Er kann durch Körperadjunktion der Wurzeln b1, …, bn ausgehend vom Körper \({\mathbb{K}}\) erhalten werden: \begin{eqnarray}{\mathbb{L}}={\mathbb{K}}({b}_{1},{b}_{2},\ldots {b}_{n}).\end{eqnarray} Der Zerfällungskörper heißt manchmal auch Wurzelkörper. Zerfällungskörper spielen eine wichtige Rolle in der Galois-Theorie. So ist zum Beispiel für das Polynom X2 − 2 über dem Körper der rationalen Zahlen \({\mathbb{Q}}\) der Körper \({\mathbb{Q}}(\sqrt{2})\) der Zerfällungskörper, für das Polynom \({X}^{4}-2\in {\mathbb{Q}}[x]\,\,\text{ist}\,\,{\mathbb{Q}}(\sqrt{2},i)\) der Zerfällungskörper.

Je nach der Situation wird manchmal auch jeder Erweiterungskörper von \({\mathbb{K}}\), in dem f(X) in Linearfaktoren zerfällt, Zerfällungskörper genannt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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