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Lexikon der Mathematik: zweite Gaußsche Fundamentalform

ein die Krümmungsverhältnisse einer Fläche \begin{eqnarray}{\mathscr{F}}\end{eqnarray} ⊂ ℝ3 beschreibendes Feld von symmetrischen Bilinearformen, die auf den Tangentialebenen von \begin{eqnarray}{\mathscr{F}}\end{eqnarray} definiert sind.

Ist eine Parameterdarstellung Φ(u, v) von \begin{eqnarray}{\mathscr{F}}\end{eqnarray} gegeben, so wird die zweite Fundamentalform durch eine symmetrische Matrix \begin{eqnarray}\text{II}(u,v)=\left(\begin{array}{cc}L & M\\ M & N\end{array}\right)\end{eqnarray} dargestellt, deren Elemente L(u, v), M(u, v) und N(u, v) die Funktionen \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}L(u,v) & = & n.{\Phi }_{uu}=-{n}_{u}.{\Phi }_{u}\\ M(u,v) & = & n.{\Phi }_{uv}=-{n}_{u}.{\Phi }_{v}\\ & = & n.{\Phi }_{vu}=-{n}_{u}.{\Phi }_{u}\\ N & = & n|.{\Phi }_{uu}=-{n}_{u}.{\Phi }_{u}\end{array}\end{eqnarray} sind. Dabei ist \begin{eqnarray}n={\Phi }_{u}\times {\Phi }_{v}/\Vert {\Phi }_{u}\times {\Phi }_{v}\Vert \end{eqnarray} das Einheitsnormalenvektorfeld von \begin{eqnarray}{\mathscr{F}}\end{eqnarray}, \begin{eqnarray}{\Phi }_{\text{u}}=\partial \Phi /\partial u,{\Phi }_{v}=\partial \Phi /\partial v,{\Phi }_{uu}={\partial }^{2}\Phi /{\partial }^{2}u,{\Phi }_{uv}={\partial }^{2}\Phi /\partial u\partial v\,\text{und}\,{\Phi }_{vv}={\partial }^{2}\Phi /{\partial }^{2}v\end{eqnarray} sind die partiellen Ableitungen der Vektorfunktion φ, und der Punkt bezeichnet das Skalarprodukt von Vektoren des ℝ3. Eine Formel, die II(u, v) explizit durch die Ableitungen von φ ausdrückt, ist \begin{eqnarray}\text{II}(u,v)=\frac{1}{\Vert {\Phi }_{u}\times {\Phi }_{v}\Vert }\left(\begin{array}{cc}{\Phi }_{uu}{\Phi }_{u}{\Phi }_{v} & {\Phi }_{uv}{\Phi }_{u}{\Phi }_{v}\\ {\Phi }_{uv}{\Phi }_{u}{\Phi }_{v} & {\Phi }_{vv}{\Phi }_{u}{\Phi }_{v}\end{array}\right).\end{eqnarray} Hier wird mit abc das Spatprodukt dreier Vektoren a, b, c ε ℝ3 bezeichnet.

Um II explizit als Bilinearform \begin{eqnarray}\text{II:}T( {\mathcal F} )\times T( {\mathcal F} )\to {\mathbb{R}}\end{eqnarray} der Tangentialebenen zu beschreiben, müssen die Vektoren s, t ε Tp(F) als Linearkombinationen s = aΦu + bΦV bzw. t = cΦu + dΦv dargestellt werden. Dann ist II(s, t) das Matrizenprodukt \begin{eqnarray}\text{II}(s,t)= & (a,b)(\begin{array}{cc}L & M\\ M & N\end{array})(\begin{array}{c}c\\ d\end{array})\\ = & Lac+Mbc+Mad+Nbd.\end{eqnarray}

Eine geometrische Deutung erfährt die zweite Fundamentalform durch die Normalkrümmung. Ist \begin{eqnarray}{\mathfrak{o}}\in T( {\mathcal F} )\end{eqnarray} ein Einheitsvektor, so ist II(ü, ü) die Normalkrümmung von \begin{eqnarray}{\mathcal F}\end{eqnarray} in der durch ü bestimmten Richtung.

Ist \begin{eqnarray}{\mathcal F}\end{eqnarray} als Graph einer Funktion f(u, v) gegeben, und P = (u0, v0,f(u0, v0)) ε \begin{eqnarray}{\mathcal F}\end{eqnarray} ein Punkt, in welchem die Tangentialebene TP \begin{eqnarray}( {\mathcal F} )\end{eqnarray} zur (u, v)-Ebene parallel ist, so sind die partiellen Ableitungen von fin (u0, v0) gleich Null, und die Matrix der zweiten Gaußschen Fundamentalform von \begin{eqnarray}{\mathcal F}\end{eqnarray} stimmt mit der Hesse-Matrix von f überein.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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