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Lexikon der Mathematik: Zykel-Abbildung

Zykel, eine natürliche Transformation graduierter Ringe \begin{eqnarray}A* (X)\to H* ({X}^{an},{\mathbb{Z}})\end{eqnarray} für glatte algebraische Varietäten X über ℂ, wobei A*(X) der Chow-Ring von X ist (SchnittTheorie), in den Kohomologiering der zugrundeliegenden komplexen Mannigfaltigkeit Xan.

Diese Abbildung ist wie folgt definiert: Wenn X eine zusammenhängende C Mannigfaltigkeit und VX eine abgeschlossene zusammenhängende orientierte Untermannigfaltigkeit ist mit orientiertem Normalenbündel NV|X, so gibt es natürliche Isomorphismen \begin{eqnarray}{H}^{p}(V,{\mathbb{Z}})\mathop{\to }\limits^{c}{H}^{p+r}(X,X\backslash V,{\mathbb{Z}})\end{eqnarray} (r = Kodimension von V in X).

Wenn X orientiert ist und Hm(X) die Borel-Moore-Homologie bezeichnet (die analog der singulären Homologie definiert ist, aber mit möglicherweise unendlichen singulären Ketten, jedoch mit lokal endlichen Trägern), so besitzt Hd(X) eine Fundamentalklasse [X],(d = dim X), und es gibt Cap-Produkte \begin{eqnarray}{H}^{j}(X,X\backslash V)\otimes {H}_{k}(X)\underrightarrow{\cap }{H}_{k-j}(V)\end{eqnarray} so, daß − ∩ [X] einen Isomorphismus \begin{eqnarray}{H}^{m}(X,X\backslash V)\to {H}_{d-m}(V)\end{eqnarray} liefert.

Wenn V zudem kompakt ist, liefert Poincare-Dua-lität einen Isomorphismus \begin{eqnarray}{H}_{d-m}(V)\simeq {H}^{m-r}(V),\end{eqnarray} und das Diagramm \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{H}^{p}(V)\mathop{\to }\limits^{c} & {H}^{p+r}(X,X\backslash V)\\ \parallel & \downarrow \cap [X]\\ {H}^{p}(V)\simeq & {H}_{d-p-r}(V)\end{array}\end{eqnarray} ist kommutativ.

Da H0(V) = ℤ ist, erhält man insbesondere eine ausgezeichnete Klasse \begin{eqnarray}{c}_{v}=c(1)\in {H}^{r}(X,X\backslash V).\end{eqnarray} Wenn Xund V algebraische Varietäten über ℂ (genauer die zugrundeliegenden analytischen Räume) sind, und n = dimX, m = dim V, so ist r = 2(nm) und d = 2n.

Wenn V nicht im singulären Ort Xsing von X liegt und W = XsingVsing ist, so ist \begin{eqnarray}{H}^{r}(X,X\backslash V)\simeq {H}^{r}(X\backslash W,X\backslash (V\cup W)),\end{eqnarray} also ist cV ε Hr(X, X\ V) auch im singulären Falle definiert, und wegen der natürlichen Restriktionsabbildungen \begin{eqnarray}{H}^{r}(X,X\backslash {V}_{i})\to {H}^{r}(X,X\backslash \cup {V}_{i})\end{eqnarray} erhält man für jeden m-dimensionalen algebraischen Zyklus \begin{eqnarray}z=\displaystyle \sum _{i}{n}_{i}{V}_{i}:\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{c}_{z} & = & \displaystyle \sum {n}_{i}c{v}_{i}\in {H}^{r}(x,x\backslash \cup {V}_{i}),\\ r & = & 2(n-m)=2\text{codim}(Z).\end{array}\end{eqnarray} Das Bild der Klasse cz in Hr(X) hängt nur von der rationalen Äquivalenzklasse von Z ab (SchnittTheorie) und liefert somit einen Gruppenhomomorphismus (die Zykel-Abbildung) \begin{eqnarray}\gamma :{A}_{m}(X)={A}^{n-m}(X)\to {H}^{2(n-m)}(X,Z).\end{eqnarray} Wenn X glatt ist, so besitzt A*(X) = ⊕Ap(X) eine Ringstruktur durch das Schnittprodukt (SchnittTheorie), und es gilt \begin{eqnarray}\gamma (a.\beta )=\gamma (a)\cup \gamma (\beta ),\end{eqnarray} d. h., das Schnittprodukt wird in das Cup-Produkt übergeführt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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