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Lexikon der Mathematik: Zygmund-Klasse

von A. Zygmund im Jahre 1945 eingeführte Klassifikation periodischer Funktionen, im wesentlichen eine Übertragung des Konzepts der Lipschitz-Klassen stetiger nicht-periodischer Funktionen.

Es sei M eine positive Zahl und f eine stetige 2π-periodische Funktion. Dann gehört f zur Zygmund-Klasse ZM, wenn für alle x ε ℝ und h> 0 gilt: \begin{eqnarray}|f(x+h)-2f(x)+f(x-h)|\le Mh.\end{eqnarray} Hierbei darf M natürlich nicht von x oder h abhängen.

Die Bedeutung des Konzepts der Zygmund-Klassen zeigt folgender Satz von Zygmund.

Es bezeichne \begin{eqnarray}E_n^p\end{eqnarray}die Minimalabweichung bei der besten Approximation 2π-periodischer Funktionen durch trigonometrische Polynome n-ten Grades.

Eine stetige 2π-periodische Funktion f gehört genau dann zu einer geeigneten Zygmund-Klasse, wenn für Ihre Minimalabweichung \begin{eqnarray}E_n^p(f)=O({n}^{-1})\end{eqnarray}gilt (Landau-Symbole).

[1] Meinardus, G.: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung. Springer-Verlag, Heidelberg, 1964.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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