die aus einer (n × n)-Matrix A = (a_ij) über ℝ oder ℂ durch Vertauschen von Zeilen und Spalten und anschließende komplexe Konjugation entstandene (n × n)-Matrix \begin{eqnarray}A* :={\bar{A}}^{t}=(\bar{{a}_{ji}}).\end{eqnarray}

(A^∗ ist dann die zu A adjungierte Matrix).

Repräsentiert die Matrix A einen Endomorphismus f auf einem n-dimensionalen euklidischen oder unitären Vektorraum (V, ⟨·, ·⟩) bezüglich einer Orthonormalbasis B von V, so repräsentiert die zu A adjungierte Matrix A^∗ den durch (1) eindeutig bestimmten zu f adjungierten Endomorphismus f^∗ : V → V: \begin{eqnarray}\langle f({\upsilon }_{1}),{\upsilon }_{2}\rangle =\langle {\upsilon }_{1},f* ({\upsilon }_{2})\rangle & (1)\end{eqnarray}

für alle υ₁, υ₂ ∈ V.

In einem endlich-dimensionalen euklidischen oder unitären Vektorraum besitzt jeder Endomorphismus einen adjungierten Endomorphismus. In unendlich-dimensionalen Vektorräumen gilt das nicht; jedoch ist der adjungierte Endomorphismus im Falle der Existenz stets eindeutig bestimmt. Für zwei Endomorphismen f, g auf einem euklidischen oder unitären Vektorraum, zu denen die adjungierten Endomorphismen f^∗ und g^∗ existieren, gilt: \begin{gathered} (f + g)* = f* + g*, \hfill \\ (\lambda f)* = \lambda f*, \hfill \\ (f \circ g)* = g* \circ f*, \hfill \\ (f*)* = f, \hfill \\ ({\text{id}})* = {\text{id}}, \hfill \\ {\text{Ker }}f* = ({\text{im }}f)^ \bot . \hfill \\ \end{gathered}

Im Falle dim V < ∞ gilt auch \begin{eqnarray}\text{im} \,f* ={(\text{Ker} \,f)}^{\perp }\end{eqnarray}

(Dimension eines Vektorraumes, Bild einer linearen Abbildung, Kern einer linearen Abildung.)

Im Falle f = f^∗ heißt der Endomorphismus f selbstadjungiert.

Ein Endomorphismus auf einem endlich-dimensionalen unitären (euklidischen) Vektorraum V ist genau dann selbstadjungiert, wenn er bezüglich einer Orthonormalbasis von V durch eine Hermitesche (symmetrische) Matrix repräsentiert wird.

[1] Fischer, G.: Lineare Algebra. Verlag Vieweg Braunschweig, 1978.
[2] Koecher, M.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1992.