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Lexikon der Mathematik: Arcuscosekansfunktion

Areuseosekans, die aufgrund der Bijektivität der Cosekansfunktion

\begin{eqnarray}\csc :[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\backslash \{0\}\to {\rm{{\mathbb{R}}}}\backslash (-1,1)\end{eqnarray}

zu dieser existierende Umkehrfunktion

\begin{eqnarray}\mathrm{arccsc}:{\rm{{\mathbb{R}}}}\backslash (-1,1)\to [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\backslash \{0\}.\end{eqnarray}

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Arcuscosekansfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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arccsc

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Arcuscosekansfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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arccsc’

Für x ∈ ℝ \ { | k ∈ ℤ} und y ∈ ℝ \ (–1, 1) gilt genau dann csc x = y, wenn

\begin{eqnarray}x=\mathrm{arccsc}y+2k\pi \mathrm{oder}x=(2k+1)\pi -\mathrm{arccsc}y\end{eqnarray}

mit einem k ∈ ℤ.

Mit csc ist auch arccsc eine ungerade Funktion. Nach dem Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion ist arccsc differenzierbar in ℝ \ [−1, 1], und für y ∈ℝ \ [−1, 1] gilt

\begin{eqnarray}{\mathrm{arccsc}}^{^{\prime} }(y)=-\frac{1}{|y|\sqrt{{y}^{2}-1}}.\end{eqnarray}

Mit arccsc \(\mathrm{arccsc}y=\arcsin \frac{1}{y}\) erhält man aus Eigenschaften der Arcussinusfunktion leicht die Eigenschaften der Arcuscosekansfunktion.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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