Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Bairesches Kategorieprinzip

Klassifikation von Mengen in einem topologischen Raum.

Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heißt genau dann nirgends dicht, wenn das Innere ihrer abgeschlossenen Hülle leer ist, d. h. die Hülle keine nicht-leere offene Menge enthält. Nirgends dichte Mengen sind also in einem gewissen Sinne „klein“. Recht einfach sieht man:

Jede Teilmenge einer nirgends dichten Menge ist nirgends dicht. Die Vereinigung zweier – und damit endlich vieler – nirgends dichter Mengen ist nirgends dicht. Die abgeschlossene Hülle einer nirgends dichten Menge ist nirgends dicht.

Eine abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen ist nicht notwendig wieder nirgends dicht; sie kann sogar dicht, also recht groß, sein. Diessieht man etwa an folgendem Beispiel: In ℝ ist die abzählbare Menge ℚ disjunkte Vereinigung einpunktiger Mengen. Endliche, speziell also einpunktige, Mengen in ℝ sind nirgends dicht. ℚ hingegen ist dicht.

Eine Teilmenge heißt genau dann von erster Kategorie oder mager, wenn sie höchstens abzählbare Vereinigung von nirgends dichten Mengen ist, anderenfalls von zweiter Kategorie oder gelegentlich auch fett.

Auch Mengen von erster Kategorie sind in einem gewissen Sinne noch klein.

Die abzählbare Vereinigung von Mengen erster Kategorie ist von erster Kategorie, und Teilmengen solcher Mengen sind von erster Kategorie.

Als Teilmenge von ℝ ist ℚ von erster Kategorie, die Menge der irrationalen Zahlen von zweiter Kategorie.

Die erstaunliche Leistungsfähigkeit dieses – zunächst unscheinbar aussehenden – Konzeptes beruht auf dem Baireschen Satz (Baire, Satz von).

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos