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Lexikon der Mathematik: Bairstow-Methode

Verfahren zur Berechnung eines Paares konjugiert komplexer Nullstellen x1 = u + iv und x2 = uiv eines Polynoms mit reellen Koeffizienten durch Abspaltung eines quadratischen Faktors der Form \begin{eqnarray}{x}^{2}-px-q=(x-{x}_{1})(x-{x}_{2})\end{eqnarray}mit p, q ∈ ℝ.

Zur genaueren Schilderung des Verfahrens sei das fragliche Polynom gegeben als \begin{eqnarray}{P}_{n}(x)={a}_{0}{x}^{n}+{a}_{1}{x}^{n-1}+\cdots +{a}_{n}.\end{eqnarray}

Für die formale Division von Pn(x) durch den quadratischen Term setzt man an: \begin{eqnarray}{P}_{n}(x) & = & ({x}^{2}-px-q)\\ & & \cdot ({b}_{0}{x}^{n-2}+{b}_{1}{x}^{n-3}+\cdots +{b}_{n-2})+\\ & & +{b}_{n-1}(x-p)+{b}_{n},\end{eqnarray}wobei sich die Koeffizienten bi rekursiv durch \begin{eqnarray}{b}_{0}:={a}_{0};\,{b}_{1}:={a}_{1}+p{b}_{0};\\ {b}_{j}:={a}_{j}+p{b}_{j-1}+q{b}_{j-2},\,j=2,3,\ldots,n,\end{eqnarray} ergeben.

Für einen quadratischen Faktor müssen bn−1(p, q) und bn(p, q) verschwinden, was als Bedingungen eines nichtlinearen Gleichungssystems angesehen und beispielsweise mit dem Newton-Verfahren gelöst wird. Für die dazu notwendigen Ableitungen von bn−1 und bn verwendet man die analoge Rekursion: \begin{eqnarray}{c}_{0}:={b}_{0};\,{c}_{1}:={b}_{1}+p{c}_{0};\\ {c}_{j}:={b}_{j}+p{c}_{j-1}+q{c}_{j-2},\,j=2,3,\ldots,n-1.\end{eqnarray}

Die iterierten Näherungen von p und q ergeben sich daraus schließlich zu \begin{eqnarray}{p}^{(k+1)}:={p}^{(k)}+\frac{{b}_{n}{c}_{n-3}-{b}_{n-1}{c}_{n-2}}{{c}_{n-2}^{2}-{c}_{n-3}{c}_{n-1}},\\ {q}^{(k+1)}:={q}^{(k)}+\frac{{b}_{n-1}{c}_{n-1}-{b}_{n}{c}_{n-2}}{{c}_{n-2}^{2}-{c}_{n-3}{c}_{n-1}},\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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