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Lexikon der Mathematik: Bilinearform

Abbildung \(f:V\times U\to {\mathbb{K}}\) auf dem Produkt zweier Vektorräume V, U über dem Körper \({\mathbb{K}}\), die linear in beiden Argumenten ist. Es gilt also für alle α1, \({{\alpha }}_{2}\in {\mathbb{K}}\), v1, v2, vV und u1, u2, uU:

\begin{eqnarray}f({\alpha }_{1}{V}_{1}+{\alpha }_{2}{V}_{2},u)={\alpha }_{1}f({V}_{1},u)+{\alpha }_{2}f({V}_{2},u),\\ f(V,{\alpha }_{1}{u}_{1}+{\alpha }_{2}{u}_{2})={\alpha }_{1}f(V,{u}_{1})+{\alpha }_{2}f(V,{u}_{2}).\end{eqnarray}

Ist V = U, so spricht man von einer Bilinearform auf V. In diesem Fall heißt f symmetrisch, falls

\begin{eqnarray}f({v}_{1},{v}_{2})\text{}=f({v}_{2},{v}_{1})\end{eqnarray}

für alle v1, v2V gilt.

Gilt für alle vV f(v, v) = 0, so heißt f alternierend; im Falle 1+1 ≠ 0 in \({\mathbb{K}}\) ist das gleichbedeutend mit f(v1, v2) = −f(v2, v1) für alle v1, v2V, d. h. f ist schiefsymmetrisch (oder: antisymmetrisch).

Eine Bilinearform f auf dem Vektorraum V ist im allg. keine lineare Abbildung \(f:V\times V\to {\mathbb{K}}\) auf dem Vektorraum V × V.

Ist A = ((αij)) eine beliebige (n × n)-Matrix über \({\mathbb{K}}\), so ist durch

\begin{eqnarray}f({v}_{1},{v}_{2}):={v}_{1}{}^{t}A{v}_{2}\end{eqnarray}

eine Bilinearform \(f:{{\mathbb{K}}}^{n}\times {{\mathbb{K}}}^{n}\to {\mathbb{K}}\) auf dem n-dimensionalen \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum \({{\mathbb{K}}}^{n}\) gegeben.

Ist \(f:V\times V\to {\mathbb{K}}\) eine Bilinearform auf dem endlich-dimensionalen Vektorraum V mit der Basis B = (b1,…,bn), so gilt für alle v1, v2V

\begin{eqnarray}f({v}_{1},{v}_{2})={v}_{1}{}_{B}^{t}A{v}_{{2}_{B}},\end{eqnarray}

wobei A die (n × n)-Matrix ((f(bi, bj))) und \({v}_{{\text{1}}_{B}}\) und \({v}_{{\text{2}}_{B}}\) die Koordinatendarstellungen von v1 und v2bzgl. B bezeichnen.

In diesem Sinne repräsentiert jede (n × n)-Matrix bzgl. einer fest gewählten Basis genau eine Bilinearform. Werden die Bilinearformen f1 bzw. f2 durch die Matrizen A1 bzw. A2 repräsentiert, so wird die Bilinearform α1f1 + α2f2 durch die Matrix

\begin{eqnarray}{\alpha }_{1}{A}_{1}+{\alpha }_{2}{A}_{2}\end{eqnarray}

repräsentiert.

Zu jeder alternierenden Bilinearform f auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum V über \({\mathbb{K}}\) gibtes eine Basis von V, bezüglich der die f repräsentierende Matrix die Gestalt

\begin{eqnarray}(B & & & \\ & \ddots & & \\ & & B & \\ & & & 0)\end{eqnarray}

hat, wobei B einen Matrixblock der Form

\begin{eqnarray}(0 & 1\\ -1 & 0)\end{eqnarray}

bezeichnet. Die Anzahl der Blöcke B ist hierbei eindeutig bestimmt, nämlich \(\frac{1}{2}\) Rg f.

Symmetrische Bilinearformen auf einem endlich- dimensionalen Vektorraum können durch Diagonalmatrizen repräsentiert werden.

Durch die Festsetzungen

\begin{eqnarray}(f+g)({v}_{1},{v}_{2}):=f({v}_{1},{v}_{2})+g({v}_{1},{v}_{2})\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}(\alpha f)({v}_{1},{v}_{2}):=\alpha f({v}_{1},{v}_{2})\end{eqnarray}

wird die Menge B(V) aller Bilinearformen auf einem Vektorraum V über \({\mathbb{K}}\) selbst zu einem Vektorraum über \({\mathbb{K}}\), einem Unterraum des Vektorraumes aller Abbildungen von \(V\times V\to {\mathbb{K}}\) mit den komponentenweise definierten Verknüpfungen.

Da durch

\begin{eqnarray}i:B(V)\to M(n\times n,{\mathbb{K}});f\mapsto ((f({b}_{i},{b}_{j})))\end{eqnarray}

ein Isomorphismus von der Menge der Bilinearformen auf dem n-dimensionalen Vektorraum V über \({\mathbb{K}}\) in die Menge der (n × n)-Matrizen über \({\mathbb{K}}\) gegeben ist, hat B(V) in diesem Fall also die Dimension n2.

Ist (ϕ1,…,ϕn) eine Basis des Dualraumes V* des n-dimensionalen Vektorraumes V, so ist

\begin{eqnarray}{({f}_{ij})}_{i,j\in \{1,\ldots ,n\}}\text{mit}{f}_{i,j}(u,v)={\varphi }_{i}(u)\cdot {\varphi }_{j}(v)\end{eqnarray}

eine Basis von B(V).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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