Lexikon der Mathematik: binomisches Integral
Integral der Form
\begin{eqnarray}\displaystyle \int {x}^{m}{(\alpha +\beta {x}^{n})}^{k}dx\end{eqnarray}
mit reellen Konstanten α, β und m, n, k ∈ ℚ.In den folgenden Fällen gelingt mit der angegebenen Substitution eine Zurückführung auf die Integration rationaler Funktionen (in der neuen Variablen τ):
Ist k ∈ ℤ, so setzt man \(\tau =\sqrt[s]{x}\) mit
\begin{eqnarray}s:=\text{kgV}(\text{Nenner}(m),\text{Nenner}(n)).\end{eqnarray}
Im Falle \(\frac{m+1}{n}\in {\mathbb{Z}}\) substituiert man\begin{eqnarray}\tau =\sqrt[q]{\alpha +\beta {x}^{n}}\end{eqnarray}
mit dem Nenner q von k.
Hat man \(\frac{m+1}{n}+k\in {\mathbb{Z}}\), so führt die Substitution
\begin{eqnarray}\tau =\sqrt[q]{\frac{\alpha +\beta {x}^{n}}{{x}^{n}}}\end{eqnarray}
zum Ziel, wobei q wieder den Nenner von k bezeichnet.Copyright Springer Verlag GmbH Deutschland 2017
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