Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: binomisches Integral

Integral der Form

\begin{eqnarray}\displaystyle \int {x}^{m}{(\alpha +\beta {x}^{n})}^{k}dx\end{eqnarray}

mit reellen Konstanten α, β und m, n, k ∈ ℚ.

In den folgenden Fällen gelingt mit der angegebenen Substitution eine Zurückführung auf die Integration rationaler Funktionen (in der neuen Variablen τ):

Ist k ∈ ℤ, so setzt man \(\tau =\sqrt[s]{x}\) mit

\begin{eqnarray}s:=\text{kgV}(\text{Nenner}(m),\text{Nenner}(n)).\end{eqnarray}

Im Falle \(\frac{m+1}{n}\in {\mathbb{Z}}\) substituiert man

\begin{eqnarray}\tau =\sqrt[q]{\alpha +\beta {x}^{n}}\end{eqnarray}

mit dem Nenner q von k.

Hat man \(\frac{m+1}{n}+k\in {\mathbb{Z}}\), so führt die Substitution

\begin{eqnarray}\tau =\sqrt[q]{\frac{\alpha +\beta {x}^{n}}{{x}^{n}}}\end{eqnarray}

zum Ziel, wobei q wieder den Nenner von k bezeichnet.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos