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Lexikon der Mathematik: Björlingsches Problem

auf E.G.Björling zurückgehende Aufgabe, durch einen, Streifen’ des \({{\mathbb{R}}}^{3}\) eine Minimalfläche zu legen.

Unter einem Streifen versteht man ein Paar (α(t), γ(t)) parametrisierter Kurven derart, daß \(\gamma (t)\) die Länge 1 hat und auf α(t) senkrecht steht. Man stelle sich α(t) als eine Kurve auf einer Fläche \( {\mathcal F} \) vor und γ(t) als den Einheitsnormalenvektor von \( {\mathcal F} \) längs \(\alpha (t)\). Man sagt dann, daß \( {\mathcal F} \) durch den Streifen (α(t), γ(t)) gelegt wurde.

Eine Lösung des Björlingschen Problems wurde 1874 von H.A.Schwarz gefunden. Man setze voraus, daß die Komponenten α(t) und γ(t) reell analytische Funktionen von t sind, dehne sie zu komplex analytischen Funktionen a(z) und γ(z) aus und betrachte die komplexe Kurve

\begin{eqnarray}\beta (z)=\alpha (z)+i\displaystyle \underset{{z}_{0}}{\overset{z}{\int }}{\alpha }^{^{\prime} }(\varsigma )\times \gamma (\varsigma )d\varsigma.\end{eqnarray}

Dann ist β(z) eine isotrope Kurve, und der Realteil

\begin{eqnarray}{\Phi }_{t}(u,\nu )=\text{Re}({e}^{2itpi}\beta (u+i\nu ))\end{eqnarray}

ist die eindeutig bestimmte Lösung des Björlingschen Problems.

Wählt man z. B. für α(t) eine ebene Kurve \(\alpha (s)=(\xi (s),{\eta }_{s},0)\), die durch die Bogenlänge s parametrisiert ist, und für γ(s) den Normalenvektor \((-{\eta }^{^{\prime} }(s),{\xi }^{^{\prime} }(s),0)\) von \(\alpha (s)\), so gilt

\begin{eqnarray}\beta (z)=(\xi (s),\eta (s),i\displaystyle \underset{{z}_{0}}{\overset{z}{\int }}\sqrt{{({\xi }^{^{\prime} })}^{2}(\sigma )+{({\eta }^{^{\prime} })}^{2}(\sigma )}d\sigma.\end{eqnarray}

Für den Kreis \(((\xi (t)=\cos t,\eta (t)=\sin (t))\) ist das Katenoid die Lösung des Björlingschen Problems.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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