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Lexikon der Mathematik: Bordismustheorie

Theorie, welche die für die Topologie grundlegende Beziehung zwischen Mannigfaltigkeiten und ihren Rändern untersucht, und hierfür grundlegende Begriffe zur Verfügung stellt.

Der Bordismusbegriff tauchte erstmals 1895 in einer Arbeit von Poincaré auf, der ihn – allerdings nicht explizit – in seiner Definition der Homologie verwendete. Erst in einer Arbeit von Thom aus dem Jahre 1954 wurde der eigentliche Grundstein für die Bordismustheorie in der heutigen Form gelegt.

Ist X ein topologischer Raum, so ist eine n-dimensionale singuläre Mannigfaltigkeit in X ein Paar (Y, g), welches aus einer kompakten n-dimensionalen Mannigfaltigkeit Y und einer stetigen Abbildung \(g:Y\to X\) besteht, wobei die singuläre Mannigfaltigkeit \((\partial Y,g{|}_{\partial Y})\) als Rand von \((Y,g)\) bezeichnet wird. Ist der Rand von Y leer, so heißt (Y, g) geschlossen.

Ein Nullbordismus einer geschlossenen singulären Mannigfaltigkeit (M, f) ist ein Tripel (Y, g, φ), bestehend aus einer singulären Mannigfaltigkeit (Y, g) in X und einem Diffeomorphismus \(\phi :M\to \partial Y\) mit \((g{|}_{\partial Y})^\circ \phi =f\). Existiert ein Nullbordismus auf (M, f), so heißt die Mannigfaltigkeit nullbordant.

Sind nun (A, α) und (B, β) n-dimensionale singuläre Mannigfaltigkeiten in X, so bezeichnet man mit \((A,\alpha )+(B,\beta )\) die singuläre Mannigfaltigkeit \((\alpha, \beta ):A+B\to X\), wobei \((\alpha, \beta ){|}_{A}=\alpha \) und \((\alpha, \beta ){|}_{B}=\beta \). Dabei heißen \((A,\alpha )\) und (B, β) bordant, wenn \((A,\alpha )+(B,\beta )\) nullbordant ist. Ein Nullbordismus von (A, α) + (B, β) heißt Bordismus zwischen \((A,\alpha )\) und (B, β).

Die Relation „bordant” ist eine Äquivalenzrelation.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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