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Lexikon der Mathematik: Cantorsches Diagonalverfahren

Diagonalverfahren, Verfahren, um aus einer Folge komplexer Zahlen oder Funktionen eine Teilfolge mit einer bestimmten Eigenschaft zu extrahieren.

Ein Beispiel zur Demonstration des Verfahrens ist das folgende: Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und (fn) eine Folge von Funktionen fn: D → ℂ derart, daß für jedes aD die Zahlenfolge (fn(a)) beschränkt ist. Weiter sei A = {aj : j ∈ ℕ} eine abzählbare Teilmenge von D.

Da die Zahlenfolge (fn(a1)) beschränkt ist, gibt es nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine Teilfolge (f1,n) von (fn) derart, daß (f1,n(a1)) konvergiert. Mit dem gleichen Argument wählt man eine Teilfolge (f2,n) von (f1,n) aus derart, daß (f2,n(a2)) konvergiert.

Auf diese Weise erhält man induktiv für jedes ∈ ℕ eine Folge (fℓ,n) mit der Eigenschaft, daß (fℓ,n) eine Teilfolge von (fℓ−1,n) ist und (fℓ,n(a)) konvergiert.

Die Diagonalfolge (gn) mit gnfn,n ist dann eine Teilfolge von (fn), die auf A punktweise konvergiert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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