Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Cauchyscher Integralsatz

zentraler Satz der Funktionentheorie, der in der Form für nullhomologe Wege lautet:

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, f eine in G holomorphe Funktion und γ ein nullhomologer Weg in G. Dann gilt

\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }f(z)dz=0.\end{eqnarray}

Ist speziell G ein einfach zusammenhängendes Gebiet, so gilt diese Aussage für jeden rektifizierbaren, geschlossenen Weg γ in G.

Allgemeiner gilt diese Homologieversion des Cauchyschen Integralsatzes auch für nullhomologe Zyklen. Daneben gibt es noch zwei Homoto-pieversionen.

(1. Homotopieversion). Es sei G ⊂ein Gebiet, f eine in G holomorphe Funktion, und γ1, γ2seien rektifizierbare Wege in G, die in G bei festen Endpunkten homotop sind. Dann gilt

\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\gamma }_{1}}f(z)dz=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\gamma }_{2}}f(z)dz.\end{eqnarray}

(2. Homotopieversion). Es sei G ⊂ein Gebiet, f eine in G holomorphe Funktion und γ1, γ2rektifizierbare, geschlossene Wege in G, die in G frei homotop sind. Dann gilt

\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\gamma }_{1}}f(z)dz=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma 2}f(z)dz.\end{eqnarray}

Ist insbesondere y ein nullhomotoper Weg in G, so gilt

\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }f(z)dz=0.\end{eqnarray}

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos