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Lexikon der Mathematik: Cesàro-Summationsverfahren

neben dem Abel-Summationsverfahren die wichtigste Möglichkeit, gewissen divergenten Reihen sinnvoll noch einen Wert zuzuordnen, sie also zu limitieren oder zu summieren.

Beide Summationsverfahren haben große Bedeutung in der Theorie der Fourier-Reihen.

Eine Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}\) heißt genau dann Cesàro-konvergent, wenn mit den Partialsummen

\begin{eqnarray}{s}_{n}:=\displaystyle \sum _{v=0}^{n}{a}_{v} \quad (n\in {\rm{{\mathbb{N}}}})\end{eqnarray}

der Grenzwert

\begin{eqnarray}s:=C\text{-}\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{a}_{v}:=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{1}{n+1}({s}_{0}+\cdots +{s}_{n})\end{eqnarray}

existiert. Man sagt dann, die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{n}{a}_{v}\) ist Cesàro-summierbar zum Wert s.

Konvergente Reihen sind Cesàro-summierbar (mit gleichem Grenzwert).

Die Reihe

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{(-1)}^{v}\end{eqnarray}

ist ein Standardbeispiel für eine divergente Reihe, die Cesàro-summierbar ist.

Ein Zusammenhang zwischen den beiden erwähnten Summationsverfahren wird durch die folgende Aussage hergestellt:

Eine Cesàro-summierbare Reihe ist Abel-summierbar.

Die Umkehrung gilt nicht: Ein abgrenzendes Beispiel ist durch

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{(-1)}^{v}(v+1)\end{eqnarray}

gegeben.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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