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Lexikon der Mathematik: Abelsches Summationsverfahren

Möglichkeit, gewissen divergenten Reihen sinnvoll noch einen Wert zuzuordnen.

Eine Reihe \({\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}\) heißt genau dann Abelkonvergent oder Abel-summierbar, wenn ihre Abel-Summe \begin{eqnarray}{A-}\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{a}_{v}:=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to 1-}\left(\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{a}_{v}{x}^{v}\right)\end{eqnarray} existiert. Ist eine Reihe \({\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}\) konvergent, so stimmt die Abel-Summe – nach dem Abelschen Grenzwertsatz – mit \({\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}\) überein.

Die Abel-Summe kann aber auch noch für gewisse divergente Reihen existieren: Für die divergente Reihe \({\sum }_{v=0}^{\infty }{(-1)}^{v}\) hat man zum Beispiel \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{(-1)}^{v}{x}^{v}=\frac{1}{1+x}\,\quad\text{f}\mathop{\text{u}}\limits^{\mathrm{..}}\text{r}\quad\,|x|\lt 1,\end{eqnarray} folglich \begin{eqnarray}{A-}\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{(-1)}^{v}=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to 1-}\left(\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{(-1)}^{v}{x}^{v}\right)=\frac{1}{2}.\end{eqnarray} Eine andere Möglichkeit, gewissen divergenten Reihen sinnvoll noch eine Summe zuzuordnen, sie zu limitieren oder zu summieren, liefert das Cesàro-Summationsverfahren. Beide Summationsverfahren haben große Bedeutung in der Theorie der Fourier-Reihen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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