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Lexikon der Mathematik: Diskriminante einer Basis

Kennzahl einer Basis eines Raumes.

Seien L/K eine endliche separable Körpererweiterung vom Grad n und {α1, …, αn} ⊂ L eine Basis des K-Vektorraums L. Dann ist die Diskriminante dieser Basis definiert durch

\begin{eqnarray}\Delta ({\alpha }_{1},\ldots, {\alpha }_{n})=\rm{det}\,(S{({\alpha }_{j}{\alpha }_{k})}_{j,k=1}{}_{,\ldots, n}),\end{eqnarray}

wobei S(α) hier die Spur von α bzgl. L/K bezeichnet.

Ist ϑ ein primitives Element des algebraischen Zahlkörpers K, also K = ℚ(ϑ), und f(x) das Minimalpolynom von ϑ, so gilt

\begin{eqnarray}\Delta (1,\,\vartheta, \,{\vartheta }^{2},\ldots, {\vartheta }^{n-1})=\Delta (f),\end{eqnarray}

wobei auf der rechten Seite die Diskriminante von f(x) steht (Diskriminante eines Polynoms).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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