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Lexikon der Mathematik: Diskriminante eines Polynoms

das Produkt aller quadrierten Differenzen zwischen den Nullstellen eines Polynoms.

Es seien K ein Körper und

\begin{eqnarray}f(x)={x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\ldots +{a}_{1}x+{a}_{0}\end{eqnarray}

ein Polynom mit Koeffizienten a0, …, an−1K und höchstem Koeffizienten 1.

Dann besitzt f in einem Zerfällungskörper von f genau n Nullstellen (mit Vielfachheiten gezählt) λ1, …, λn. Unter der Diskriminante von f versteht man das Produkt

\begin{eqnarray}\Delta (f)=\displaystyle \prod _{1\le i\lt j\le n}{({\lambda }_{i}-{\lambda }_{j})}^{2}.\end{eqnarray}

Der Name rührt daher, daß die Diskriminante zwischen Polynomen mit wenigstens einer mehrfachen Nullstelle und solchen mit nur einfachen Nullstellen unterscheidet (diskriminiert):

Δ(f) verschwindet genau dann, wenn f(x) eine mehrfache Nullstelle besitzt.

Die Diskriminante ist eine symmetrische Funktion der Nullstellen und läßt sich daher als Polynom der elementarsymmetrischen Funktionen der Nullstellen, also der Koeffizienten a0, …, an−1 des Polynoms f(x) darstellen.

Damit gilt immer \(\Delta (f)\,\in \,{\mathbb{K}}\), und man kann Δ(f) durch einen algebraischen Algorithmus aus den Koeffizienten von f errechnen. Beispielsweise erhält man für ein quadratisches Polynom

\begin{eqnarray}f(x)={x}^{2}+ax+b\end{eqnarray}

sofort

\begin{eqnarray}\Delta (f)={a}^{2}-4b\end{eqnarray}

(siehe auch Diskriminante einer Gleichung).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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