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Lexikon der Mathematik: Doppelintegral

ein Ausdruck – eventuell auch mit Grenzen – der Form

\begin{eqnarray}\displaystyle \int \left(\displaystyle \int f(x,y)\,dy\right)\,dx,\end{eqnarray}

also ein spezielles Mehrfachintegral.

Zunächst wird bei festem x das Integral in der Klammer berechnet und dann die resultierende – von x abhängige – Funktion integriert. Gelegentlich wird auch ein zweidimensionales Integral – Verallgemeinerung des (bestimmten) Integrals einer Variablen auf Funktionen zweier Variabler –

\begin{eqnarray}\displaystyle \int \displaystyle \int f(x,y)d(x,y)\,\end{eqnarray}

so bezeichnet. Die Verbindung zwischen diesen – zunächst zu unterscheidenden Ausdrücken – stellt der Satz über iterierte Integration her: Ein zweidimensionales Integral kann unter geeigneten Voraussetzungen durch Hintereinanderausführung zweier einfacher Integrationen gewonnen werden. In einer ganz speziellen Version besagt dieser Satz zum Beispiel: Hat man für a, b ∈ ℝ mit zwei stetigen Funktionen ϕ, ψ : [a, b] → ℝ den Bereich

\begin{eqnarray}B:=\{(x,y):x\in [a,b],\varphi (x)\le y\le \psi (x)\},\end{eqnarray}

so gilt zumindest für stetiges f

\begin{eqnarray}\displaystyle \int \displaystyle \mathop{\int }\limits_{B}f(x,y)\,d(x,y)=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(\displaystyle \underset{\varphi (x)}{\overset{\psi (x)}{\int }}f(x,y)\,dy\right)\,dx.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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