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Lexikon der Mathematik: Dualitätsungleichung

die Ungleichung

\begin{eqnarray}\langle x,y\rangle \le F(x)+{F}^{* }(y)\end{eqnarray}

für alle x, y ∈ ℝn und Funktionen F : ℝn → ℝ, wobei F* : ℝn → ℝ ∪ {∞} die durch

\begin{eqnarray}{F}^{* }(y):=\mathop{sup}\limits_{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}}(\langle x,y\rangle -F(x))\,\,(y\in {{\mathbb{R}}}^{n})\end{eqnarray}

erklärte duale Funktion zu F ist.

Für n = 1 und \(F(x)\,=\,\frac{{x}^{2}}{2}\) ist z. B. \(F* (y)\,=\,\frac{{y}^{2}}{2}\), und es ergibt sich die binomische Ungleichung in der Form

\begin{eqnarray}xy\le \frac{1}{2}({x}^{2}+{y}^{2}).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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