Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Elferprobe

eine Rechenregel zum Testen der Teilbarkeit durch 11 bei einer in Dezimaldarstellung gegebenen natürlichen Zahl. Ist

\begin{eqnarray}Q\prime (n) = Q_{10}^\prime (n) = \mathop \sum \limits_{j = 0}^k {( – 1)^j}{z_j}\end{eqnarray}

durch 11 teilbar ist.

Noch genauer gilt \begin{eqnarray}Q^{\prime} (n)\equiv n\mathrm{mod}11,\end{eqnarray} d. h., n und Q′(n) lassen bei Division durch 11 den gleichen Rest.

Ist die Zahl 542718 durch 11 teilbar? Die alternierende Quersumme ist \begin{eqnarray}Q^{\prime} (542718)=8-1+7-2+4-5=11.\end{eqnarray}

Weil 11 durch 11 teilbar ist, ist also auch 542718 durch 11 teilbar.

Bei längeren Zahlen kommt es vor, daß die alternierende Quersumme wieder eine mehrstellige Zahl ist (wie im Beispiel 542718). In solchen Fällen kann man den Prozeß des Bildens der alternierenden Quersumme solange wiederholen, bis eine einstellige Zahl herauskommt. Wegen (1) wird dadurch die Ermittlung des Rests bei Division durch 11 nicht beeinträchtigt, z.B.: Q′(92713) = 16, Q′(16) = 5, also läßt 92713 bei Division durch 11 den Rest 5.

Die Elferprobe kann auch zum Überprüfen von Rechenaufgaben, insbesondere von Multiplikationen und Divisionen eingesetzt werden. Man kann damit manche falschen Ergebnisse entlarven, aber umgekehrt ist eine positive Elferprobe noch kein Beweis für die Richtigkeit einer Rechnung.

Ein Beispiel: Ist die Gleichung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}768\cdot 453\mathop{=}\limits^{?} & 347894\end{array}\end{array}\end{eqnarray} richtig? Bildet man die alternierenden Quersummen, so ergibt sich auf der linken Seite \begin{eqnarray}9\cdot 2=18\equiv 7\,\,\mathrm{mod}\,\,11,\end{eqnarray} während die rechte Seite zu \begin{eqnarray}Q^{\prime} (347894)=-3\not\equiv 7\,\,\mathrm{mod}\,\,11\end{eqnarray} führt; also ist die Elferprobe negativ, woraus folgt, daß Gleichung (2) falsch ist.

Bei der Gleichung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}768\cdot 453\mathop{=}\limits^{?}347893\end{array}\end{eqnarray} ist die Elferprobe positiv, trotzdem ist Gleichung (3) falsch, wie man mittels der Zehnerprobe (oder durch direktes Nachrechnen) leicht beweisen kann.

Weitere häufig erwähnte Rechenregeln dieser Art sind die Dreierprobe und die Neunerprobe.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos