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Lexikon der Mathematik: Fatou, Satz von

Aussage in der Funktionentheorie, die wie folgt lautet:

Es sei f eine in 𝔼 ={ z ∈ ℂ : |z| < 1 } beschränkte, holomorphe Funktion.

Dann existiert für fast alle t ∈ [ 0, 2π) der radiale Grenzwert

< ?PageNum _137\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f* ({e}^{it}):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{r\to 1}f(r{e}^{it}),\end{array}\end{eqnarray}

und es gilt fL(𝕋), wobei 𝕋 = 𝔼. Weiter gilt \begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{\infty }=\mathop{\text{sup}}\limits_{z\in \mathbb{E}}|f(z)|={\Vert f* \Vert }_{\infty }=\mathop{\text{ess sup}}\limits_{\zeta \in \mathbb{T}}|f* (\zeta )|.\end{eqnarray}

Schließlich gilt für z ∈ 𝔼 die Cauchysche Integralformel \begin{eqnarray}f(z)=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{T}}}\frac{f* (\zeta )}{\zeta -z}d\zeta.\end{eqnarray}

Ist umgekehrt fL(𝕋) gegeben, so existiert eine in 𝔼 beschränkte, holomorphe Funktion f derart, daß (1) gilt genau dann, wenn \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f* ({e}^{it}){e}^{int}dt=0\end{eqnarray}

für alle n ∈ ℕ.

Dieser Satz von Fatou (1906) war eine der ersten Anwendungen der Lebesgueschen Integrationstheorie.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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