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Lexikon der Mathematik: Finite-Elemente-Methode

FEM, Approximationsverfahren, meist für lineare partielle Differentialgleichungen nach der Ritz-Galerkin- Methode mit speziellen Ansatzräumen, den Finiten Elementen.

Man zerlegt dazu den Definitionsbereich in geometrische Elemente und definiert über diesen Elementen Ansatzfunktionen. Im Zweidimensionalen werden typischerweise Dreiecke für die Zerlegung gewählt als sogenannte Triangulierung, je nach Gegebenheiten kommen auch Vierecke als geometrische Grundelemente in Betracht. Als Ansatzfunktionen verwendet man meist stückweise konstante, stückweise lineare oder stückweise quadratische Funktionen. Man vergleiche hierzu Finite Elemente.

Eine Finite-Elemente-Methode heißt konform, wenn die Ansatzfunktionen einen Teilraum des Funktionenraums des zugehörigen Ritz-Galerkin- Ansatzes darstellen.

Eine Triangulierung heißt zulässig, wenn der Schnitt zweier Dreiecke entweder leer, eine gemeinsame Seite oder ein gemeinsamer Eckpunkt ist. Bei einer quasiuniformen Triangulierung bleibt außerdem das Verhältnis der Dreiecksgrößen beschränkt, während man bei einer formregulären Triangulierung das Verhältnis von Außen- zu In- nenkreisradius gleichmäßig beschränkt. Eine Möglichkeit der Gittererzeugung (Triangulation) besteht darin, mit einer groben Triangulierung zu beginnen und diese anschließend zu verfeinern, indem die vorhandenen Dreiecke weiter unterteilt werden. Die Verfeinerung selbst kann problemabhängig adapativ gesteuert sein.

Wir geben ein Beispiel: Ein deformierbarer fester Körper ist gewissen Belastungen ausgesetzt. Weil das Materialgesetz (z. B. das Hookesche Gesetz für linear-elastisches Material) eine analytische Lösung nicht oder zumindest nur mit sehr hohem Aufwand zuläßt, wird der Körper in endlich viele kleine Teile (die „Elemente”) unterteilt, und zwar so, daß die Deformationen jedes einzelnen Teiles gut durch eine Linearkombination einer kleinen Anzahl von Basisfunktionen angenähert werden können, und daß der Zusammenhang zwischen der Belastung und dieser approximativen Verformung, die nurmehr von einer endlichen Anzahl von Parameter abhängt, durch einfache, möglichst lineare, Gleichungen beschrieben werden kann. Aus diesen, zusammen mit dem Gleichgewicht der Spannungen und dem Zusammenstimmen der Verformungen an den Elementgrenzen, können die Verschiebungen jedes einzelnen Elements und damit die Verformung des ursprünglichen Körpers bestimmt werden.

Analog verwendet man im dreidimensionalen Fall Tetraeder statt Dreiecken oder Quader statt Rechtecken. Grundsätzlich ist jedes geometrische Element durch ein gewissen Anzahl von Punkten, den Knoten, charakterisiert (zumeist die Eckpunkte oder Punkte auf dem Rand). Die Anzahl der Knoten pro Element ist gleich der Anzahl der unbestimmten Koeffizienten des Formelausdruckes, der die Näherung der Lösung auf diesem Element bestimmt.

Für die Geometrische Datenverarbeitung wichtig sind Finite Elemente-Methoden dort, wo es um die Triangulierung von großen mehr oder weniger regelmäßigen Punktmengen und ihre lokale Interpolation durch Freiformflächen geht (vgl. auch scattered data-Interpolation).

[1] Marsal, D.: Finite Differenzen und Elemente. SpringerVerlag Berlin, 1989.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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