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Lexikon der Mathematik: Fortsetzung eines Operators

Ausdehnung eines linearen Operators auf einen größeren Definitionsbereich.

Während nach dem Satz von Hahn-Banach (Hahn-Banach-Sätze) jedes stetige lineare Funktional von einem Unterraum U eines Banachraums X normgleich auf X fortgesetzt werden kann, ist für lineare Operatoren i. allg. nicht einmal eine stetige Fortsetzung möglich; beispielsweise kann der identische Operator Id : c0c0 nicht zu einem stetigen Operator T : 𝓁c0 fortgesetzt werden.

Ein positives Resultat kann für L-wertige Operatoren bewiesen werden:

Ist U ein Unterraum des Banachraums X und S : UL(μ) ein stetiger linearer Operator, so existiert eine normgleiche Fortsetzung

\begin{eqnarray}\begin{equation} T:X\rightarrow L^{\infty}(\mu). \end{equation}\end{eqnarray}

.

Ist X separabel, gilt ein entsprechendes Resultat auch für c0-wertige Operatoren, allerdings mit der Normbedingung ||T|| ≤ 2||S||; das folgt aus dem obigen Satz und dem Satz von Sobczyk.

[1] Lacey, H. E.: The Isometric Theory of Classical Banach Spaces. Springer Heidelberg/Berlin, 1974.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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