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Lexikon der Mathematik: Fundamentalsystem

Hauptsystem, Basis des Lösungsraumes einer homogenen Differentialgleichung bzw. eines homogenen Differentialgleichungssystems.

Es sei 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ, und es seien I ⊂ ℝ ein offenes Intervall und ai : I → 𝕂 stetige Funktionen. Die 𝕂-wertigen Lösungen der homogenen Gleichung n-ter Ordnung \begin{equation} y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_{1}(x)y^{\prime}+a_{0}(x)y=0\ \end{equation} bilden einen n-dimensionalen Vektorraum über 𝕂, den sog. Lösungsraum. Es gibt also n linear unabhängige Lösungen der Gleichung (1), bezeichnet mit y1, …, yn. Jede Lösung der Gleichung (1) läßt sich dann eindeutig als Linearkombination der yi darstellen. Analoges gilt für die vektorwertigen Lösungen y von homogenen linearen Differentialgleichungssystemen \begin{equation} \mathbf{y}^{\prime}=A(t)\mathbf{Y}. \end{equation} Hier faßt man n linear unabhängige Lösungen y1, …, yn, also ein Fundamentalsystem, in einer Matrix Y := (yi, …, yn) zusammen. n Lösungen der homogenen Gleichung (1) bilden genau dann ein Fundamentalsystem, wenn ihre Wronski-Determinante ungleich 0 ist.

[1] Timmann, S.: Repetitorium der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Binomi Hannover, 1995.
[2] Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin, 1972.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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