eine Funktion, die nicht zu sehr „oszilliert“.

Definition und Charakterisierung dieser Funktionen gehen auf Camille Jordan zurück. Sie haben Bedeutung u. a. in der Theorie der Fourier-Reihen, bei der Einführung von Stieltjes-Integralen und zur Beschreibung der Rektifizierbarkeit von Kurven. Gegeben seien reelle Zahlen a, b mit a < b und g : [a, b] → ℝ. Zu einer Zerlegung \begin{equation} Z:=a=x_{0}\lt x_{1} \lt \cdots \lt x_{n}=b\\ \end{equation} von [a, b] betrachtet man \begin{equation} S(Z):=\sum^{n}_{\nu=1}\vert g(x_{\nu})-g(x_{\nu-1})\vert; \end{equation}g heißt genau dann von beschränkter Variation, wenn die Menge {S(Z) : Z Zerlegung von [a, b]} (nach oben) beschränkt ist. Ist dies der Fall, dann heißt \begin{align} & V(g,[a,b])=V^{b}_{a}(g):=\sup\{S(Z):Z\ \mathrm{Zerlegung}\ \mathrm{von}\ [a,b]\} \end{align} Totalvariation von g; sie ist offenbar ein Maß für das Oszillationsverhalten von g. Statt \([V_{a}^{b}(g)]\) notiert \(\int \limits_{a}^{b}\vert dg \vert\).

Die Menge aller Funktionen von beschränkter Variation auf [a, b] wird mit \(\mathcal{B}V[a,b]\) bezeichnet. Sie ist ein Vektorraum über \(\mathbb{R}\), es gilt sogar:

\(\mathcal{B}V[a,b]\)ist eine Algebra.

Man hat Additivität bezüglich der Intervallgrenzen: Für a ≤ c ≤ b gilt: g ist über [a, b] genau dann von beschränkter Variation, wenn g über [a, c] und über [c, b] von beschränkter Variation ist. In diesem Fall gilt \begin{equation} \int\limits_{a}^{b}\vert dg \vert= \int\limits_{a}^{c} \vert dg \vert+\int\limits_{c}^{b} \vert dg \vert. \end{equation} Manchmal betrachtet man den Wert \begin{align} V^{+}(g,[a,b]):=\sup\{\sum^{n}_{i=1}\max(g(x_{i})-g(x_{i-1}),0)\vert \\ a=x_{0}\lt x_{1}\lt \cdots \lt x_{n}=b,n \in \mathbb{N}\} \end{align} genannt positive Variation, und \begin{align} V^{-}(g,[a,b]):=\sup\{-\sum^{n}_{i=1}\min(g(x_{i})-g(x_{i-1}),0)\vert \\ a=x_{0}\lt x_{1}\lt \cdots \lt x_{n}=b,n \in \mathbb{N}\}, \end{align} genannt negative Variation von g über [a, b]. Es gelten hierfür folgende Aussagen:

• V(g, [a, b]) = V⁺(g, [a, b]) + V⁻(g, [a, b]), g(b) − g(a) = V₊ (g, [a, b]) − V⁻([a, b]).
• Jede monotone und jede Lipschitz-stetige Funktion g : [a, b] → ℝ ist von beschränkter Variation. Ist ϕ : [a, b] → ℝ Lebesgue-integrierbar, so ist g(x) := ∫_{[a, x]}ϕ(t)dλ(t) von beschränkter Variation auf [a, b]. V⁺(g[a, x]) und V⁻(g, [a, x]) sind für a ≤ x ≤ b von beschränkter Variation für \(g\in\mathcal{B}V[a,b]\).
• Es gilt für \(g\in\mathcal{B}V[a,b]\) die Jordan-Zerlegung g(x)−g(a) = V⁺ (g, [a, x]) − V⁻(g, [a, x]) für a ≤ x ≤ b in die Differenz zweier isotoner Funktionen. Diese Zerlegung ist minimal in dem Sinn, daß, wenn g = h₁ − h₂ eine Zerlegung in zwei isotone Funktionen h₁ und h₂ ist, h₁ − V⁺(g, [a, ]) und h₂ − V⁻(g, [a, ]) isotone Funktionen sind.
• \(g\in\mathcal{B}V[a,b]\) hat höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen und an jeder Unstetigkeitsstelle einen rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert.
• Für \(g\in\mathcal{B}V[a,b]\) existiert kein x ∈ [a, b) mit V⁺(g, [a, x + 0]) − V⁺ (g, [a, x]) > 0 und V⁻(g, [a, x + 0]) − V⁻(g, [a, x]) > 0. Entsprechendes gilt für linksseitige Grenzwerte. g ist also genau dann in x ∈ [a, b] linksbzw. rechtsseitig stetig, falls es V⁺(g, [a, ]) und V⁻(g, [a, ]) sind, oder falls es V(g, [a, ]) ist.
• Ist \(g\in\mathcal{B}V[a,b]\) auf [a, b) rechtsseitig stetig, so definiert g ein endliches signiertes Maß μ auf \(\mathcal{B}([a,b])\), und V⁺(g, [a, ]) bzw. V⁻(g, [a, °]) endliche Maße μ⁺ bzw. μ⁻ auf \(\mathcal{B}([a,b])\). μ = μ⁺ − μ⁻ ist die Jordan-Zerlegung des signierten Maßes μ.
• Für \(g\in\mathcal{B}V[a,b]\) ist \begin{align} S(g,[a,x]):= & g(a+0)-g(a)\\ & +\sum_{a\lt y \lt x } (g(y+0)-g(y-0))\\ &+g(x)-g(x-0) \end{align} eine Sprungfunktion und von beschränkter Variation, und h : = g − S(g, [a, ]) ist stetig und von beschränkter Variation.

„Extern“ läßt sich die Gesamtheit der gunktionen von beschränkter Variation wie folgt beschreiben:

g ist genau dann von beschränkter Variation, wenn g sich als Differenz zweier isotoner Funktionen schreiben läßt.

Nicht jede differenzierbare, somit erst recht nicht jede stetige, Funktion ist von beschränkter Variation, wie das folgende Beispiel zeigt: Es sei g : [0,1] → ℝ gegeben durch: \begin{equation} g(x):=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}\sin (\frac{1}{x^{2}}), & 0\lt x\leq 1\\0, & x=0 \end{array}\right.\end{equation} Hingegen sind Funktionen, die auf [a, b] eine beschränkte Ableitung haben, von beschränkter Variation. Henri Lebesgue zeigte (1904) eine teilweise Umkehrung:

Ist g auf [a, b] von beschränkter Variation, dann existiert g′(x) für fast alle x ∈ [a, b]. Ergänzt sei noch:

Absolut stetige Funktionen sind von beschränkter Variation.

Für die praktische Berechnung der Totalvariation − eventuell nur auf Teilintervallen − zieht man meist folgendes Kriterium heran:

Istg auf [a, b] stetig differenzierbar, so ist g von beschränkter Variation mit \begin{equation} \int\limits_{a}^{b}\vert dg \vert=\int\limits_{a}^{b}\vert g^{\prime}(x)\vert dx. \end{equation} Wenn das Bezugsintervall [a, b] festliegt, schreibt man auch V(g), ∫ |dg| und \(\mathcal{B}V\) statt \([V_{a}^{b}(g)]\), \(\int_{a}^{b}\vert dg \vert\) und \(\mathcal{B}V[a,b]\).

Durch \begin{equation} \Vert g \Vert:= \vert g(a) \vert+\int\limits_{a}^{b}\vert dg \vert \ \ \ \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r} \ \ g\in \mathcal{B}V[a,b] \end{equation} ist eine Norm auf dem Raum \(\mathcal{B}V[a,b]\) gegeben.

Mit naheliegenden Modifikationen kann man statt auf [a, b] auch auf ganz ℝ definierte Funktionen betrachten und wesentlich allgemeinere Zielbereiche als ℝ zulassen.