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Lexikon der Mathematik: Fuzzy-Ereignis

unscharfes Ereignis, eine Erweiterung des Begriffs Ereignis auf Fuzzy-Mengen.

Sei (Ω, \(\mathfrak{P}(\Omega)\), P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit der endlichen Ergebnismenge Ω, der Ereignismenge \(\mathfrak{P}(\Omega)\) und der Wahrscheinlichkeitsfunktion \begin{equation} P:\mathfrak{P}(\Omega)\rightarrow [0,1]. \end{equation}

Eine Fuzzy-Menge à = {(x, μA(x)) | x ∈ Ω} heißt dann Fuzzy-Ereignis in Ω, wenn ihre Zugehörigkeitsfunktion μA(x) Borel-meßbar ist.

Die Wahrscheinlichkeit eines Fuzzy-Ereignisses à ist definiert als \begin{equation} P(\tilde{A})=\sum_{x\in \Omega} \mu_{A}(x)\cdot P(\{x\}). \end{equation}

Sei (Ω, \(\begin{eqnarray}{\mathcal{L}}\end{eqnarray}\), P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit der Ergebnismenge ℝn, der Borelschen σ-Algebra \(\begin{eqnarray}{\mathcal{L}}\end{eqnarray}\) auf ℝn und der Wahrscheinlichkeitsfunktion P : \(\begin{eqnarray}{\mathcal{L}}\end{eqnarray}\) → [0, 1].

Eine Fuzzy-Menge à = {(x, μA(x)) | x ∈ ℝn} heißt dann Fuzzy-Ereignis in ℝn, wenn ihre Zugehörigkeitsfunktion μA(x) Borel-meßbar ist.

Die Wahrscheinlichkeit eines Fuzzy-Ereignisses à ist definiert als das Lebesgues-Stieltjes-Integral \begin{eqnarray}P(\tilde{A})=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{n}}{\mu }_{A}(x)\,\,dP.\end{eqnarray}

Ist n = 1 und läßt sich die Wahrscheinlichkeit P beschreiben durch eine Dichtefunktion g(x), so kann P(Ã) auch geschrieben werden als \begin{eqnarray}P(\tilde{A})=\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\mu }_{A}(x)g(x)\,\,dx.\end{eqnarray}

Sind à und \(\tilde{B}\) Fuzzy-Ereignisse des gleichen Wahrscheinlichkeitsraumes, so gilt \begin{align} &\tilde{A}\subseteq \tilde{B}\Rightarrow P(\tilde{A})\leq p(\tilde{B}),\\ & P(\tilde{A}\cup \tilde{B})= P(\tilde{A})+P(\tilde{B})-P(\tilde{A}\cap \tilde{B}). \end{align} Auch weitere Konzepte und Sätze der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie lassen sich auf Fuzzy-Ereignisse erweitern:

Als bedingte Wahrscheinlichkeit eines Fuzzy-Ereignisses à unter der Bedingung, daß das Fuzzy-Ereignis \(\tilde{B}\) des gleichen Wahrscheinlichkeitsraumes mit \(P(\tilde{B})>0$?> eingetreten ist, bezeichnet man die Größe \begin{equation} P(\tilde{A}\vert \tilde{B})=\frac{P(\tilde{A}\cdot \tilde{B})}{P(\tilde{B})}. \end{equation}

Zwei Fuzzy-Ereignisse à und \(\tilde{B}\) heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt \begin{equation} P(\tilde{A}\cdot \tilde{B})=P(\tilde{A})\cdot P(\tilde{B}). \end{equation}< ?PageNum _217 Der Erwartungswert eines Fuzzy-Ereignisses à läßt sich berechnen als \begin{equation} E(\tilde{A})=\frac{1}{P(\tilde{A})}\sum_{x\in\Omega}x\cdot \mu_{A}(x)\cdot P(\{x\}) \end{equation} bzw. \begin{equation} E(\tilde{A})=\frac{1}{P(\tilde{A})}\int\limits_{\mathbb{R}^{n}}x\cdot \mu_{A}(x)\,dP. \end{equation}.

Als Möglichkeitsmaß eines Fuzzy-Ereignisses à = {(x, μA(x)) | x ∈ Ω} bezeichnet man den Wert \begin{equation} \pi(\tilde{A})=\sup_{x\in \Omega}\min(\mu_{A}(x),\pi(x)), \end{equation} wenn π(x) eine Possibility-Verteilung (Möglichkeitsmaß) auf der Ergebnismenge Ω ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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