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Lexikon der Mathematik: geodätisches System von Parameterlinien

geodätische Parallelkoordinaten, Gaußsche geodätische Parameter, eine Parameterdarstellung Φ(u, v) einer Fläche \( {\mathcal F} \space \subset \space {{\mathbb{R}}}^{3}\), bei der eine der beiden Scharen von Parameterlinien, etwa die u-Linien, geodätische Kurven sind und die v-Linien senkrecht schneiden.

Diese Eigenschaft besitzen z.B. geodätische Polarkoordinaten. Die Koeffizienten E und F der ersten Gaußschen Fundamentalform haben in einem geodätischen System die einfache Gestalt E(u, v) = 1, F(u, v) = 0, während G(u, v) nicht näher bestimmt ist. Sind in einem geodätischen System auch die v-Linien Geodätische, so ist auch G(u, v) = 1 und die Parameterdarstellung Φ(u, v) ist eine isometrische Abbildung von auf die Ebene.

Die von zwei v-Linien eines geodätischen Systems aus den u-Linien herausgeschnittenen Stücke haben gleiche Länge. Besitzt umgekehrt ein orthogonales Netz Φ(u, v) diese Eigenschaft, so sind seine u-Linien u → Φ(u, v0) Geodätische. Aufgrund dieser Eigenschaft werden die v-Linien Parallelkurven und die Größen u und v des Koordinatensystems Φ(u, v) geodätische Parallelkoordinaten oder Gaußsche geodätische Parameter genannt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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